Khoảng cách từ O đến d ngắn nhất chính là đoạn vuông góc kẻ từ O đến d.
Đường thẳng đi qua O và vuông góc với d có dạng y = ax
Vì vuông góc với d nên a.$\frac{2}{3}$ = – 1 hay a = $\frac{-3}{2}$ Ta có đường thẳng y = $\frac{-3}{2}$x
Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của pt:
$\frac{-3}{2}$x = $\frac{2}{3}$+ $\frac{5}{3}$ <=> x = $\frac{-10}{13}$ Thay vào tính được: y = $\frac{15}{13}$ Vậy M cần tìm là M($\frac{-10}{13}$; $\frac{15}{13}$)
$y=\dfrac{-2}{3}x+\dfrac{5}{3}$
Gọi $M(x;\dfrac{-2}{3}x+\dfrac{5}{3})$
$OM=\sqrt[]{x^2+(\dfrac{-2}{3}x+\dfrac{5}{3})^2}$
$=\dfrac{\sqrt[]{13x^2-20x+25}}{3}$
Để $OM$ ngắn nhất thì $\sqrt[]{13x^2-20x+25}$ nhỏ nhất
$⇔13x^2-20x+25$ nhỏ nhất
Đặt $f(x)=13x^2-20x+25$
Ta có:
$f(x)=13(x^2-\dfrac{20}{13}x+\dfrac{25}{13})$
$=13(x-\dfrac{10}{13})^2+\dfrac{225}{13}≥\dfrac{225}{13}$
Vậy $f(x)_{min}=\dfrac{225}{13}$ khi và chỉ khi $x=\dfrac{10}{13}$
Thay $x=\dfrac{10}{13}$ vào hàm số ban đầu ta có: $y=\dfrac{15}{13}$
Vậy $M(\dfrac{10}{13};\dfrac{15}{13})$.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Khoảng cách từ O đến d ngắn nhất chính là đoạn vuông góc kẻ từ O đến d.
Đường thẳng đi qua O và vuông góc với d có dạng y = ax
Vì vuông góc với d nên a.$\frac{2}{3}$ = – 1 hay a = $\frac{-3}{2}$
Ta có đường thẳng y = $\frac{-3}{2}$x
Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của pt:
$\frac{-3}{2}$x = $\frac{2}{3}$+ $\frac{5}{3}$
<=> x = $\frac{-10}{13}$
Thay vào tính được: y = $\frac{15}{13}$
Vậy M cần tìm là M($\frac{-10}{13}$; $\frac{15}{13}$)