Trong tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. CMR:
a) AH.HD=BH.HE
b) H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF
Làm giúp em với ạ em cần gấp! Em cảm ơn ạ! Em sẽ vote 5 sao ạ!
Trong tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. CMR: a) AH.HD=BH.HE b) H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF
By Hailey
a.
Xét ΔAHE và ΔBHD có:
∠BHD=∠AHE( Đối đỉnh)
∠BDH=∠AEH(=90)
=>ΔAHE đồng dạng ΔBHD (g.g)
=>AH/BH=HE/HD
=>AH.HD=BH.HE(đpcm)
b. Nối F,E,D
Xét ΔCFB và ΔADB có:
∠FBC chung
∠ADB=∠CFB(=90)
=>ΔCFB đồng dạngΔADB(gg)
=> BF/CB=BD/AB
Xét ΔBFD và ΔBCA có
BF/CB=BD/AB(cmt)
∠ABC chung
=> ΔBFD đồng dạng ΔBCA (cgc)
=> ∠BFD=∠BCA(1)
Chứng minh tương tự:
=> ΔAFE đồng dạng ΔACB(c.g.c)
=> ∠AFE=∠BCA(2)
Từ (1) và (2)
=>∠AFE=∠BFD
Ta có: ∠AFE+∠EFC=90
∠CFD+∠DFB=90
=> ∠EFC=∠CFD
MÀ CF nằm giữa EF và DF
=> FC là p/g của ∠EFD(3)
chứng minh tương tự <=> EB là p/g∠ DEF(4)
DA là p/g ∠FDE(5)
Mà H là giao điểm của FC,EB,DA(6)
Từ 3,4,5,6=> H là giao điểm các đường p/g ΔDEF
Đáp án
a)AH . HD = BH . HE
b)H là giao điểm các đường phân giác của Δ DEF
Giải thichd các bước làm
a) Xét ΔAHE và ΔBHD có:
∠AEH = ∠BDH (=90)
∠AHE = ∠BHD (2 góc đối đỉnh)
⇒ΔAHE ∞ ΔBHD (g.g)
⇒$\frac{AH}{BH}$ = $\frac{HE}{HD}$
⇒AH . HD = BH . HE (đpcm)
b) Nỗi E,D,F
Xét ΔCFB và ΔADB có:
∠ABC chung
∠CFB = ∠ADB (=90)
⇒ΔCFB ∞ ΔADB (g.g)
⇒$\frac{BF}{BC}$ = $\frac{BD}{AB}$
Xét ΔBFD và ΔBCA có:
$\frac{BF}{BC}$ = $\frac{BD}{AB}$ (cmt)
∠ABC chung
⇒ΔBFD ∞ ΔBCA (c.g.c)
⇒∠BFD = ∠BCA (2 góc tương ứng) (1)
CMTT:
ΔAFE ∞ ACB (c.g.c)
⇒∠AFE = ∠ACB (2 góc tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
∠BFD = ∠AFE
Ta có: ∠AFE + ∠EFD + ∠BFD = 180
hay ∠AFE + 90 + ∠BFD = 180
⇒∠AFE + ∠BFD = 90
Mà: ∠EFH + ∠AFE = 90
∠BFFD + ∠HFD =90
⇒∠EFH = ∠HFD
⇒FH là phân giác của ∠DFE trong ΔDEF
⇒H là giao điểm các đường phân giác của Δ DEF (đpcm)