Với x>3 tìm GTNN của biểu thức: M= (x^2 +2x -9)/ (x -3)

Đáp án:

$\begin{array}{l}
M = \dfrac{{{x^2} + 2x – 9}}{{x – 3}}\\
 = \dfrac{{{x^2} – 3x + 5x – 15 + 6}}{{x – 3}}\\
 = \dfrac{{x\left( {x – 3} \right) + 5\left( {x – 3} \right) + 6}}{{x – 3}}\\
 = \dfrac{{\left( {x + 5} \right)\left( {x – 3} \right) + 6}}{{x – 3}}\\
 = x + 5 + \dfrac{6}{{x – 3}}\\
 = x – 3 + \dfrac{6}{{x – 3}} + 8\\
Do:x > 3 \Rightarrow x – 3 > 0\\
Theo\,Cô – si:\\
x – 3 + \dfrac{6}{{x – 3}} \ge 2\sqrt {\left( {x – 3} \right).\dfrac{6}{{x – 3}}}  = 2\sqrt 6 \\
 \Rightarrow M \ge 2\sqrt 6  + 8\\
 \Rightarrow GTNN:M = 2\sqrt 6  + 8\\
Khi:x – 3 = \dfrac{6}{{x – 3}}\\
 \Rightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} = 6\\
 \Rightarrow x – 3 = \sqrt 6 \\
 \Rightarrow x = \sqrt 6  + 3
\end{array}$