Với a ≥ b ≥ 1. Chứng minh: $\dfrac{1}{1+a^{2}}$ + $\dfrac{1}{1+b^{2}}$ ≥ $\dfrac{2}{1+ab}$

0 bình luận về “Với a ≥ b ≥ 1. Chứng minh: $\dfrac{1}{1+a^{2}}$ + $\dfrac{1}{1+b^{2}}$ ≥ $\dfrac{2}{1+ab}$”

1. `1/(1+a^2)+1/(1+b^2)≥2/(1+ab) (1)`

   `⇔1/(1+a^2)-1/(1+ab)+1/(1+b^2)-1/(1+ab)≥0`

   `⇔(1+ab-1-a^2)/[(1+a^2)(1+ab)]+(1+ab-1-b^2)/[(1+b^2)(1+ab)]≥0`

   `⇔(ab-a^2)/[(1+a^2)(1+ab)] + (ab-b^2)/[(1+b^2)(1+ab)]≥0`

   `⇔[a(b-a)(1+b^2)+b(a-b)(1+a^2)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`

   `⇔[a(b-a)(1+b^2)-b(b-a)(1+a^2)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`

   `⇔{[b-a][a(1+b^2)-b(1+a^2)]}/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`

   `⇔[(b-a)(a+ab^2-b-a^2b)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`

   `⇔[(b-a)(a-b)+(b-a)(ab^2-a^2b)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`

   `⇔[(a-b)^2+(b-a)ab(b-a)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`

   `⇔[(a-b)^2+ab(a-b)^2]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`

   `⇔[(a-b)^2 . (1+ab)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0 (2)`

   Vì `a≥1;b≥1⇒ab>0`

   `(a-b)^2≥0`

   `(1+b^2)≥0`

   `(1+ab)≥0`

   `(1+a^2)≥0`

   `⇒(2)` đúng

   `⇒(1)` đúng

   Bình luận

2. Giải thích các bước giải:

   Xét $\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2} ≥ \dfrac{2}{1+ab}$

   $⇔ \dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2} – \dfrac{2}{1+ab} ≥ 0 $

   $⇔ \dfrac{(1+b^2).(1+ab)+(1+a^2).(1+ab)-2.(1+a^2).(1+b^2)}{(1+a^2).(1+b^2).(1+ab)} ≥ 0 $

   $⇔ (1+b^2).(1+ab)+(1+a^2).(1+ab)-2.(1+a^2).(1+b^2)≥0$

   $⇔1+ab+b^2+b^3ab+1+ab+a^2+a^3b-2.(1+a^2+b^2+a^2b^2) ≥ 0 $

   $⇔a^3b+ab^3+a^2+b^2+2ab+2-2-2a^2-2b^2-2a^2b^2 ≥ 0 $

   $⇔a^3b+ab^3-2a^2b^2-a^2-b^2+2ab ≥ 0 $

   $⇔ab.(a^2+b^2-2ab) -(a^2+b^2-2ab) ≥ 0 $

   $⇔(a^2+b^2-2ab).(ab-1) ≥ 0 $

   $⇔(a-b)^2.(ab-1)≥0$ ( Luôn đúng với $a≥b≥1$)

   Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=1$

   Vậy BĐT được chứng minh !

    

   Bình luận