Với $\alpha$ là một góc nhọn, biểu thức $tan\alpha + 4cot\alpha$ có giá trị nhỏ nhất là gì?
– Mọi người trình bày chi tiết giúp em ạ.
Với $\alpha$ là một góc nhọn, biểu thức $tan\alpha + 4cot\alpha$ có giá trị nhỏ nhất là gì?
– Mọi người trình bày chi tiết giúp em ạ.
Đáp án:
$Min =4$ khi `α` thỏa `tanα=2`
Giải thích các bước giải:
Vì `α` là góc nhọn
`=>0<α<90°`
`=>sinα>0; cosα>0`
`=>{sinα}/{cosα}>0; {cotα}/{sinα}>0`
`=>tanα>0; cotα>0`
`\qquad cotα=1/{tanα}=>tanα.cotα=1`
$\\$
Ta có:
`\qquad tanα+4cotα\ge 2\sqrt{tanα.4cotα}=2.2=4` (BĐT Cosi)
Dấu “=” xảy ra khi:
`\qquad tanα=4cotα`
`<=>tanα=4/{tanα}`
`<=>tan^2α=4`
`<=>tanα=2\ (do\ tanα>0)`
Vậy $GTNN$ của `tanα+4cotα` bằng $4$ khi `α` thỏa `tanα=2`