Với $\alpha$ là một góc nhọn, biểu thức $tan\alpha + 4cot\alpha$ có giá trị nhỏ nhất là gì? – Mọi người trình bày chi tiết giúp em ạ.

Đáp án:

$Min =4$ khi `α`  thỏa  `tanα=2` 

Giải thích các bước giải:

Vì `α` là góc nhọn

`=>0<α<90°`

`=>sinα>0; cosα>0`

`=>{sinα}/{cosα}>0; {cotα}/{sinα}>0`

`=>tanα>0; cotα>0`

`\qquad cotα=1/{tanα}=>tanα.cotα=1`

$\\$

Ta có:

`\qquad tanα+4cotα\ge 2\sqrt{tanα.4cotα}=2.2=4` (BĐT Cosi)

Dấu “=” xảy ra khi:

`\qquad tanα=4cotα`

`<=>tanα=4/{tanα}`

`<=>tan^2α=4`

`<=>tanα=2\ (do\ tanα>0)`

Vậy $GTNN$ của `tanα+4cotα` bằng $4$ khi `α` thỏa `tanα=2`