Với các số thực dương a, b thay đổi. Chứng minh rằng: $(a+b)(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-ab+2a^2}})\leqslant 2\sqrt{2}$
Với các số thực dương a, b thay đổi. Chứng minh rằng: $(a+b)(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-ab+2a^2}})\leqslant 2\sqrt{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:
$VT\leqslant (a+b)\sqrt{2(\frac{1}{a^2-ab+2b^2}+\frac{1}{b^2-ab+2a^2})}$
Ta cần chứng minh:
$(a+b)\sqrt{2(\frac{1}{a^2-ab+2b^2}+\frac{1}{b^2-ab+2a^2})}\leqslant 2\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow 8\geqslant 2(a+b)^2(\frac{1}{a^2-ab+2b^2}+\frac{1}{b^2-ab+2a^2})$
$\Leftrightarrow \frac{2(a-b)^2(5a^2-6ab+5b^2)}{(a^2-ab+2b^2)(2a^2-b+b^2)}\geq 0$ (luôn đúng)
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`a^2 – ab + 2b^2 = a^2 – ab + b^2 + b^2`
`= (a+b)^2/4 + 3/4 (a+b)^2 + b^2 ge (a+b)^2/4 + b^2 ge 2 sqrt((a+b)^2/4 * b^2) = (a+b)b` `(Cô-si)`
`=> 1/sqrt(a^2 – ab + 2b^2) le 1/sqrt((a+b)b) = sqrt2/sqrt((a+b)2b) le sqrt2/2 (1/(a+b) + 1/(2b))` `(Cô-si)`
Tương tự:
`1/sqrt(b^2 – ab + 2a^2) le sqrt2/2 (1/(a+b) + 1/(2a))`
`=> S le (a+b)[sqrt2/2(1/(a+b) + 1/(2a) + 1/(a+b) +1/(2a))]`
`S le (a+b) * sqrt2/2 (2/(a+b) + 1/(2a) + 1/(2b))`
`S le sqrt2/2 * [ 2+ 1/2(1/a +1/b) (a+b)]`
`S le sqrt2/2 (2 + 1/2 * 4) le 2 sqrt 2`