1^2+2^2+…+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6 Chứng minh rằng với mọi n€N*, ta có

0 bình luận về “1^2+2^2+…+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6 Chứng minh rằng với mọi n€N*, ta có”

1. Đáp án:

   Ta chứng minh đẳng thức đúng với mọi n

   +) Khi n=1 thì:

   VT=1; $VP = \frac{{1.\left( {1 + 1} \right)\left( {2 + 1} \right)}}{6} = 1 = VT$

   => đúng với n=1

   +)Khi n=k

   $ \Rightarrow {1^2} + {2^2} + {3^2} + … + {k^2} = \frac{1}{6}.k.\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)$

    Ta chứng minh nó đúng với n=k+1

   $\begin{array}{l}
   {1^2} + {2^2} + {3^2} + … + {k^2} + {\left( {k + 1} \right)^2}\\
    = \frac{1}{6}.k.\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right) + {\left( {k + 1} \right)^2}\\
    = \frac{1}{6}.\left( {k + 1} \right)\left[ {k\left( {2k + 1} \right) + 6\left( {k + 1} \right)} \right]\\
    = \frac{1}{6}\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)\\
    = \frac{1}{6}.\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)\\
    = \frac{1}{6}\left( {k + 1} \right)\left( {k + 1 + 1} \right)\left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\\
    = \frac{1}{6}n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)\left( {khi:n = k + 1} \right)
   \end{array}$

   Vậy đúng với n=k+1

   Vậy biểu thức đúng với mọi n

   ${1^2} + {2^2} + {3^2} + … + {n^2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}$

   Bình luận