1+2+3+4+…+n= 231 Số số hạng của vế trái là: ( n-1):1+1= n ⇒ ( n+1).n:2= 231 ⇔ ( n+1).n= 462 Ta thấy n+1 và n là 2 số tự nhiên liên tiếp, mà 462= 22.

( Xin bạn làm ơn đọc kĩ, suy ngẫm từng câu từng chữ vào nhe .-. )
1 + 2 + 3 + 4 + … + n = 231
Áp dụng công thức tính số số hạng trong dãy tổng trên là: ( số hạng cuối – số hạng đầu ) : khoảng cách + 1

Ta có: Khoảng cách của mỗi số hạng là: 2 – 1 = 1
Số hạng cuối = n
Số hạng đầu = 1

⇒ Số số hạng trong dãy tổng trên là: ( n – 1 ):1 +1 ⇒ Còn ( n – 1 ) + 1 vì số nào chia với 1 thì bằng chính số đó ⇒ n – 1 + 1 ( ta thấy -1 với 1 là hai số đối nhau vậy khi cộng lại thì hai số đó bằng 0 )
⇒ n – 0 = n

Ta đã tìm được số số hạng trong dãy tổng trên rồi giờ ta sẽ áp dụng công thức tính tổng dãy số hạng có quy luật: ( số hạng cuối + số hạng đầu ) × số số hạng trong dãy tổng : 2

Ta có: Số số hạng trong dãy tổng = n
Số hạng cuối = n
Số hạng đầu = 1

⇒ Tổng của dãy tổng trên là: ( n + 1 ). n : 2 = 231
⇒ Chuyển :2 sang vế phải ( nhớ đổi dấu ) thì ( n + 1 ).n = 231 . 2 ⇒ ( n + 1 ) . n = 462
 Ta thấy tích ( n + 1) . n là tích của hai số hạng liên tiếp ⇔ tách 462 = 22 . 21
hay ( 21 + 1 ).21 = 462 
⇒ x = 21

Câu 2:
1 + 3 + 5 + 7 + … + 2n – 1 = 169

Áp dụng công thức tính số số hạng trong dãy tổng trên là: ( số hạng cuối – số hạng đầu ) : khoảng cách + 1

Ta có: 
Số hạng cuối = 2n – 1
Số hạng đầu = 1
Khoảng cách giữa hai số liên tiếp = 3 – 1 = 2

⇒ Số hạng trong dãy tổng trên là:
[ ( 2n – 1 ) – 1 ] : 2 + 1
 Bạn bỏ ngoặc ( 2n – 1 ) ra thì là ( 2n – 1 – 1 ) : 2 + 1
⇒( 2n – 2 ) : 2 + 1
⇒ ( 2n – 2.1 ) : 2 + 1
Áp dụng công thức ab – ac = ( b – c ).a ta dễ thấy được là 2 chính là a trong công thức, b chính là n trong công thức và 1 chính là c trong công thức, vậy là ( n – 1 ) . 2 : 2 + 1
Tiếp đến bạn tính 2 : 2 = 1 vậy là ( n – 1 ).1 + 1
Vì số nào nhân với 1 thì bằng chính số đó nên có thể bỏ .1 đi ⇒ ( n – 1 ) + 1
Bạn bỏ ngoặc ra ⇒ n – 1 + 1 
Vì -1 với 1 là hai số đối nên khi cộng lại sẽ bằng 0 ⇒ n – 0 = n
Vậy số số hạng trong dãy tổng trên = n

Ta đã tìm được số số hạng trong dãy tổng trên rồi giờ ta sẽ áp dụng công thức tính tổng dãy số hạng có quy luật: ( số hạng cuối + số hạng đầu ) × số số hạng trong dãy tổng : 2

Ta có: Số số hạng trong dãy tổng = n
Số hạng cuối = 2n -1
Số hạng đầu = 1

Tổng số hạng trong dãy tổng trên là:
[ ( 2n -1) + 1 ].n : 2 = 169
Bạn bỏ ngoặc ( 2n -1 ) ra vậy sẽ là ( 2n – 1 + 1 ) 
Có -1 và 1 là số đối nên bằng 0 ⇒ 2n . n : 2 = 169
Vì 2 : 2 = 1 nên là n . n = 169
⇒ n² = 169
⇒ n = 13 hoặc n = -13 ( loại vì dãy trên là tăng dần không phải là giảm dần )
Vậy n = 13