1. Cho A= 3+3^3+3^5+….+3^1991. Chứng minh A chia hết cho 13 và chia hết cho 41.
2. Chứng minh rằng: (9^2n+1994^93) chia hết cho 5.
Giúp em 2 bài này nha, em cảm ơn rất nhiều ạ!
1. Cho A= 3+3^3+3^5+….+3^1991. Chứng minh A chia hết cho 13 và chia hết cho 41. 2. Chứng minh rằng: (9^2n+1994^93) chia hết cho 5. Giúp em 2 bài
By Adalynn
1. Ta có
$A = 3 + 3^3 + \cdots + 3^{1991}$
$= 3(1 + 3^2 + 3^4) + 3^7(1 + 3^2 + 3^4) + \cdots + 3^{1987} (1 + 3^2 + 3^4)$
$= 3.91 + 3^7.91 + \cdots + 3^{1987}.91$
$= 91(3 + 3^7 + \cdots + 3^{1987})$
$= 13.7(3 + 3^7 + \cdots + 3^{1987})$
Vậy A chia hết cho 41
Mặt khác, ta lại có
$A = 3 + 3^3 + \cdots + 3^{1991}$
$= 3(1 + 3^2 + 3^4 + 3^6) + \cdots + 3^{1985}(1 + 3^2 + 3^4 + 3^6)$
$= 3.820 + \cdots + 3^{1985} .820$
$= 820(3 + \cdots + 3^{1985})$
$= 41.20(3 + \cdots + 3^{1985})$
Vậy A chia hết cho 41.
Bài 2
Ta có
$9^{2n} + 1994^{93} = (9^2)^n + 1994^{3.31}$
$= 81^{n} + (1994^{3})^{31}$
Ta thấy rằng $81^n$ luôn có tận cùng bằng 1 với mọi số tự nhiên $n$.
Ta sẽ xét chữ số tận cùng của $(1994^{3})^{31}$.
Ta để ý rằng
$4^1 = 4, 4^2 = 16, 4^3 = 64$
Vậy với $k$ là số lẻ thì $4^k$ có tận cùng là 4, còn nếu $k$ chẵn thì $4^k$ có tận cùng là 6.
Vậy $1994^3$ có tận cùng là 4, và do đó $(1994^3)^{31}$ cũng có tận cùng là 4.
Do đó
$81^{n} + (1994^{3})^{31}$
có tận cùng của $1 + 4 =5$, do đó chia hết cho 5.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1. Ta có
A=3+33+⋯+31991A=3+33+⋯+31991
=3(1+32+34)+37(1+32+34)+⋯+31987(1+32+34)=3(1+32+34)+37(1+32+34)+⋯+31987(1+32+34)
=3.91+37.91+⋯+31987.91=3.91+37.91+⋯+31987.91
=91(3+37+⋯+31987)=91(3+37+⋯+31987)
=13.7(3+37+⋯+31987)=13.7(3+37+⋯+31987)
Vậy A chia hết cho 41
Mặt khác, ta lại có
A=3+33+⋯+31991A=3+33+⋯+31991
=3(1+32+34+36)+⋯+31985(1+32+34+36)=3(1+32+34+36)+⋯+31985(1+32+34+36)
=3.820+⋯+31985.820=3.820+⋯+31985.820
=820(3+⋯+31985)=820(3+⋯+31985)
=41.20(3+⋯+31985)=41.20(3+⋯+31985)
Vậy A chia hết cho 41.
Bài 2
Ta có
92n+199493=(92)n+19943.3192n+199493=(92)n+19943.31
=81n+(19943)31=81n+(19943)31
Ta thấy rằng 81n81n luôn có tận cùng bằng 1 với mọi số tự nhiên nn.
Ta sẽ xét chữ số tận cùng của (19943)31(19943)31.
Ta để ý rằng
41=4,42=16,43=6441=4,42=16,43=64
Vậy với kk là số lẻ thì 4k4k có tận cùng là 4, còn nếu kk chẵn thì 4k4k có tận cùng là 6.
Vậy 1994319943 có tận cùng là 4, và do đó (19943)31(19943)31 cũng có tận cùng là 4.
Do đó
81n+(19943)3181n+(19943)31
có tận cùng của 1+4=51+4=5, do đó chia hết cho 5.