1. Cho a^3 + b^3 + c^3 = 3abc . Với a, b, c khác 0 . Tính giá trị của biểu thức P= ( 1+a/b)( 1+b/c)(1+c/a)

0 bình luận về “1. Cho a^3 + b^3 + c^3 = 3abc . Với a, b, c khác 0 . Tính giá trị của biểu thức P= ( 1+a/b)( 1+b/c)(1+c/a)”

1. Giải thích các bước giải:

    Cho $a,b,c$ $\neq 0$ và $a^3+b^3+c^3 = 3abc$

   $P= (1+$ $\frac{a}{b})$ $(1+$ $\frac{b}{c})$ $(1+$ $\frac{c}{a})$ 

   Ta có:

   $a^3+b^3+c^3 = 3abc$

   $⇔a^3+b^3+c^3-3abc=0$

   $⇔(a+b)^3+c^3-3ab(b+c)-3abc=0$

   $⇔[(a+b)^3+c^3] -3ab(a+b+c) =0$

   $⇔(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b).c+c^2] -3ab(a+b+c) =0$

   $⇔(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) =0$

   $⇔$\(\left[ \begin{array}{l}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\end{array} \right.\) 

   $+) a+b+c =0 $

   $⇒P =($ $\frac{a+b}{b})$ $(\frac{b+c}{c})$  $(\frac{a+c}{a})$ 

   $⇔P=$ $\frac{-c}{b}$ $.\frac{-a}{c}$ $.\frac{-b}{a}$ 

   $⇔P=$ $\frac{-abc}{abc}$ $=-1$

   $+) a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac = 0$

   Ta có: 

   $a^2+b^2+c^2 ≥ ab+bc+ac $

   $⇔$$\frac{1}{2}(a-b)^2 +\frac{1}{2}(b-c)^2+\frac{1}{2}(a-c)^2 ≥ 0$ (Luôn đúng)

   Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c$

   Thay vào $P$ :

   $P = (1+1)(1+1)(1+1)$

   $P = 8 $

   $⇒ P = -1 $ hoặc $P =8$

   Bình luận

2. Đáp án: $P=-1$ hoặc $P=8$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:
   $a^3+b^3+c^3=3abc$

   $\to a^3+b^3+c^3-3abc=0$

   $\to (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc=0$

   $\to (a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0$

   $\to (a+b+c)((a+b)^2-(a+b)c+c^2)-3ab(a+b+c)=0$

   $\to (a+b+c)((a+b)^2-(a+b)c+c^2-3ab)=0$

   $\to (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$

   $\to a+b+c=0$

   Hoặc $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$

   Nêu $a+b+c=0$

   Ta có:

   $P=(1+\dfrac ab)(1+\dfrac bc)(1+\dfrac ca)$

   $\to P=\dfrac{a+b}b\cdot\dfrac{b+c}c\cdot\dfrac{c+a}a$

   $\to P=\dfrac{-c}b\cdot\dfrac{-a}c\cdot\dfrac{-b}a$ vì $a+b+c=0$

   $\to P=-1$

   Nếu $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$

   Mà $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$

   $\to a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge 0$

   Dấu = xảy ra khi $a=b=c$

   $\to P=8$

   Bình luận