1) Cho A= 5+ 5 ² +5 ³ +……+5 ∧100
Chứng minh rằng A chia hết cho 5 mà A ko chia hết cho 25
2) Cho B= 4+ 4 ² + 4 ³ +……+ 4 ∧23+ 4 ∧ 24
Chứng minh rằng B chia hết cho 21
3) Cho C= 1+5+5 ² + 5 ³+…..+5 ∧32
Tìm số dư của phép chia C cho 31
4) Cho A= 4+2 ² + 2 ³ +……+ 2 ∧100
Chứng minh rằng: A là 1 lũy thừa của 2
Đáp án:
Dễ thôi
Ta có :
5 , 5 ^2 , 5^3….5^100 đều chia hết cho 5 do là lũy thừa của 5 mà
=> 5+ 5 ² +5 ³ +……+5 ∧100 chia hết cho 5
=> A chia hết cho 5
Ta có :
5 không chia hết cho 25
mà , 5 ^2 , 5^3….5^100 chia hết cho 25 ( do chứa thừa số 5^2=25)
=> 5+ 5 ² +5 ³ +……+5 ∧100 không chia hết cho 25
2, Ta có :
B = 4+ 4 ² + 4 ³ +……+ 4 ∧23+ 4 ∧ 24
= 4( 1+ 4 + 4^2) + 4^3(1 + 4 + 4^2) + … + 4^22( 1 + 4 + 4^2)
= 4.21 + 4^3.21 + … + 4^22.21
= 21(4 + 4^3 + … + 4^22) chia hết cho 21
c, C= 1+5+5 ² + 5 ³+…..+5 ∧32
= ( 1 + 5 + 5^2) + (5^3 + 5^4 + 5^5) + … + ( 5^30 + 5^31 + 5^32)
= ( 1 + 5 + 5^2) + 5^3( 1 + 5 + 5^2) + … + 5^30( 1 + 5 + 5^2)
= 31 + 5^3.31 + … + 5^30 . 31
= 31(1 + 5^3 + … + 5^30) chia hết cho 30
=> C chia 30 dư 0
4, A= 4+2 ² + 2 ³ +……+ 2 ∧100 (2)
=> 2A = 8 + 2^3 + 2^4 + … + 2^101 (1)
Lấy (1) – (2) ta được :
S = 2^101 (đpcm)