1) Cho $a,b>0;\,a^2+b^2≤16$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=a\sqrt{9b(a+8b)}+b\sqrt{9a(b+8a)}$
2) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $(x-y)(x-z)=1$; $y\neq z$
Chứng minh: $\dfrac{1}{(x-y)^2}+\dfrac{1}{(y-z)^2}+\dfrac{1}{(z-x)^2}≥4$
Giúp em với!
1) Cho $a,b>0;\,a^2+b^2≤16$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=a\sqrt{9b(a+8b)}+b\sqrt{9a(b+8a)}$ 2) Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn $(x-y)(x-
By Alice
Đáp án: $A_{max}=144$ tại $a=b=\sqrt[]{8}$
Giải thích các bước giải:
1) Do $a,b>0$ $\to 9a > 0; 9b>0; a+8b > 0; b+8a > 0 $
Áp dụng BĐT AM – GM cho hai số dương dạng $\sqrt[]{ab} ≤ \dfrac{a+b}{2}$ ta được :
$\sqrt[]{9b.(a+8b)} ≤ \dfrac{9b+a+8b}{2} = \dfrac{a+17b}{2}$
$⇒a\sqrt[]{9b.(a+8b)} ≤ \dfrac{a^2+17ab}{2}$
Tương tự ta có : $\sqrt[]{9a.(b+8a)} ≤ \dfrac{9a+b+8a}{2} = \dfrac{b+17a}{2}$
$⇒b\sqrt[]{9a.(b+8a)} ≤ \dfrac{b^2+17ab}{2}$
Khi đó $A = \sqrt[]{9b.(a+8b)} + \sqrt[]{9a.(b+8a)} ≤ \dfrac{a^2+b^2+34ab}{2}$
Mặt khác ta có : $ab ≤ \dfrac{(a+b)^2}{4} ≤ \dfrac{2.(a^2+b^2)}{4} = \dfrac{a^2+b^2}{2}$
Nên : $A ≤ \dfrac{a^2+b^2+34.\dfrac{a^2+b^2}{2}}{2} = \dfrac{18.(a^2+b^2)}{2} $
$≤ \dfrac{18.16}{2} = 144$
Dấu “=” xảy ra $⇔\left\{ \begin{array}{l}9b=a+8b\\9a=b+8a\\a=b\\a^2+b^2=16\\a,b>0\end{array} \right.$
$⇔ a=b=\sqrt[]{8}$
Vậy giá trị lớn nhất của $A$ là $144$ tại $a=b=\sqrt[]{8}$
Đáp án: Tham khảo
Giải thích các bước giải:
1) $ (a + b)² ≤ 2(a² + b²) ≤ 32$ Dấu $’=’$ khi $ a = b = \sqrt[]{8}$
Trực tiếp bằng Bunnhacopski: $ac + bd=\sqrt[]{8}$ \sqrt[]{(a² + b²)(c² + d²)}$ Dấu $’=’$ khi $\frac{c}{a} = \frac{d}{b} $
$A = a\sqrt[]{9b(a + 8b)} + b\sqrt[]{9a(b + 8a)} ≤ \sqrt[]{9(a² + b²)(8a² + 8b² + 2ab)} $
$ ≤ \sqrt[]{9.16[7(a² + b²) + (a + b)²]} ≤ \sqrt[]{144[7.16 + 32]} = 144$
Dấu $’=’$ khi $\frac{9b(a + 8b)}{a²} = \frac{9a(b + 8a)}{b²} ⇔ \frac{b}{a} – \frac{a}{b} + 8\frac{b²}{a²} – 8\frac{a²}{b²} = 0 $
$ ⇔ (\frac{b}{a} – \frac{a}{b})(1 + 8 \frac{b}{a} + 8\frac{a}{b}) = 0 ⇔ \frac{b}{a} – \frac{a}{b} = 0 ⇔ a = b =\sqrt[]{8}$
2) Đặt $ a = x – y; b = x – z ⇒ ab = 1$
$ ⇒ y – z = b – a; y \neq z ⇒ y – z \neq 0 ⇒ a – b \neq 0$
$\frac{1}{(x – y)²} + \frac{1}{(y – z)²} + \frac{1}{(z – x)²} = \frac{1}{a²} + \frac{1}{b²} + \frac{1}{(a – b)²}$
$ = \frac{a² + b²}{a²b²} + \frac{1}{(a – b)²} = (a² + b²) + \frac{1}{(a – b)²} = (a – b)² + \frac{1}{(a – b)²} + 2 $
$ ≥ 2\sqrt[]{(a – b)².\frac{1}{(a – b)²}} + 2 = 4$
Dấu $’=”$ khi $ (a – b)²= 1; ab = 1$