1, Cho `a+b=1` chứng minh `a^3+b^3 ≥1/4` 2, Cho `a,b>0, a+b≥2` Chứng minh `a^3+b^3≥a^2+b^2`

0 bình luận về “1, Cho `a+b=1` chứng minh `a^3+b^3 ≥1/4` 2, Cho `a,b>0, a+b≥2` Chứng minh `a^3+b^3≥a^2+b^2`”

1. Đáp án:

   Ta có : 

   `a^3 + b^3`

   `= (a + b)^3 – 3ab(a + b)`

   `= 1 – 3ab`

   Áp dụng BĐT Cô -si ta có : 

   `(a + b)^2/4 ≥ ab`

   `=> [3(a + b)^2]/4 ≥ 3ab`

   `=> 1 – 3ab ≥ 1 –  [3(a + b)^2]/4 = 1 – 3/4 = 1/4`

   `=> đpcm`

   2. Ta có : 

   `a^3 + b^3 – a^2 – b^2`

   `= (a + b)(a^2 – ab + b^2) – a^2 – b^2 ≥ 2(a^2 – ab + b^2) – a^2 – b^2 = 2a^2 – 2ab + 2b^2 – a^2 – b^2 = a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2 ≥ 0`

   `=> đpcm`

   Dấu “=” xẩy ra

   `<=> a + b = 2` và `a = b`

   `<=> a = b = 1`

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận

2. `a³+b³=(a+b).(a²-ab+b²)`

   `=a²-ab+b²`

   `=(a+b)²-3ab`

   `=1-3ab≥1-3.(a+b)²/4=1-3/4=1/4`

   Dấu”=” sảy ra ⇔`a=b=1/2`

   `a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)≥2(a²-ab+b²)`=`2a²+2b²-2ab=(a-b)²+a²+b²≥a²+b²`

   Dấu” sảy ra ⇔`a=b=1`

    

   Bình luận