1, Cho `a+b=1` chứng minh `a^3+b^3 ≥1/4` 2, Cho `a,b>0, a+b≥2` Chứng minh `a^3+b^3≥a^2+b^2`

Đáp án:

Ta có : 

`a^3 + b^3`

`= (a + b)^3 – 3ab(a + b)`

`= 1 – 3ab`

Áp dụng BĐT Cô -si ta có : 

`(a + b)^2/4 ≥ ab`

`=> [3(a + b)^2]/4 ≥ 3ab`

`=> 1 – 3ab ≥ 1 –  [3(a + b)^2]/4 = 1 – 3/4 = 1/4`

`=> đpcm`

2. Ta có : 

`a^3 + b^3 – a^2 – b^2`

`= (a + b)(a^2 – ab + b^2) – a^2 – b^2 ≥ 2(a^2 – ab + b^2) – a^2 – b^2 = 2a^2 – 2ab + 2b^2 – a^2 – b^2 = a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2 ≥ 0`

`=> đpcm`

Dấu “=” xẩy ra

`<=> a + b = 2` và `a = b`

`<=> a = b = 1`

Giải thích các bước giải: