Toán 1)cho a và b thỏa mãn a ≥1;b ≥1.CM: 1/ 1+a ² +1/1+b ² ≥ 2/1+ab 10/10/2021 By Josie 1)cho a và b thỏa mãn a ≥1;b ≥1.CM: 1/ 1+a ² +1/1+b ² ≥ 2/1+ab
`1/(1+a^2)+1/(1+b^2)≥2/(1+ab) (1)` `⇔1/(1+a^2)-1/(1+ab)+1/(1+b^2)-1/(1+ab)≥0` `⇔(1+ab-1-a^2)/[(1+a^2)(1+ab)]+(1+ab-1-b^2)/[(1+b^2)(1+ab)]≥0` `⇔(ab-a^2)/[(1+a^2)(1+ab)] + (ab-b^2)/[(1+b^2)(1+ab)]≥0` `⇔[a(b-a)(1+b^2)+b(a-b)(1+a^2)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0` `⇔[a(b-a)(1+b^2)-b(b-a)(1+a^2)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0` `⇔{[b-a][a(1+b^2)-b(1+a^2)]}/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0` `⇔[(b-a)(a+ab^2-b-a^2b)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0` `⇔[(b-a)(a-b)+(b-a)(ab^2-a^2b)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0` `⇔[(a-b)^2+(b-a)ab(b-a)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0` `⇔[(a-b)^2+ab(a-b)^2]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0` `⇔[(a-b)^2 . (1+ab)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0 (2)` Vì `a≥1;b≥1⇒ab>0` `(a-b)^2≥0` `(1+b^2)≥0` `(1+ab)≥0` `(1+a^2)≥0` `⇒(2)` đúng `⇒(1)` đúng Trả lời
`1/(1+a^2)+1/(1+b^2)≥2/(1+ab) (1)`
`⇔1/(1+a^2)-1/(1+ab)+1/(1+b^2)-1/(1+ab)≥0`
`⇔(1+ab-1-a^2)/[(1+a^2)(1+ab)]+(1+ab-1-b^2)/[(1+b^2)(1+ab)]≥0`
`⇔(ab-a^2)/[(1+a^2)(1+ab)] + (ab-b^2)/[(1+b^2)(1+ab)]≥0`
`⇔[a(b-a)(1+b^2)+b(a-b)(1+a^2)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`
`⇔[a(b-a)(1+b^2)-b(b-a)(1+a^2)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`
`⇔{[b-a][a(1+b^2)-b(1+a^2)]}/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`
`⇔[(b-a)(a+ab^2-b-a^2b)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`
`⇔[(b-a)(a-b)+(b-a)(ab^2-a^2b)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`
`⇔[(a-b)^2+(b-a)ab(b-a)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`
`⇔[(a-b)^2+ab(a-b)^2]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`
`⇔[(a-b)^2 . (1+ab)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0 (2)`
Vì `a≥1;b≥1⇒ab>0`
`(a-b)^2≥0`
`(1+b^2)≥0`
`(1+ab)≥0`
`(1+a^2)≥0`
`⇒(2)` đúng
`⇒(1)` đúng