1) cho ba số dương `x,y, z` thoã mãn `x +y+ z = 12` tìm `MIN` của `P=` $\frac{x}{\sqrt[]{y}}$+ $\frac{y}{\sqrt[]{z}}$ +$\frac{z}{\sqrt[]{x}}$
2) a. chứng minh rằng với mọi `x, y >0` thì $\frac{2}{x^2 + 2y^2 +3}$ $\leq$ $\frac{1}{xy+y+1}$
b. cho ba số dương `a,b,c` với ` abc = 1` . tìm `GTLN` của biểu thức:
$\frac{1}{a^2 + 2b^2 + 3 }$ `+`$\frac{1}{b^2+ 2c^2 +3 }$`+` $\frac{1}{c^2 + 2a^2 +3}$
( giải chi tiết giúp mình với ạ, mình cảm ơn nhiều ạ)
Đáp án:
Mk dùng đến BĐT `C ô – si` dạng cộng mẫu nha (bn có thể tham khảo trên mạng để hiểu nó là gì)
Bài 1 : Có hơi dài mong bn thông cảm (cách này cực dài và nhọc )
mk đổi biến cho dễ làm
Đặt `(\sqrt{x}, \sqrt{y} , \sqrt{z} ) = (a,b,c) (a,b,c > 0) (a^2 + b^2 + c^2 = 12)`
Ta có
`+) 12 = a^2 + b^2 + c^2 >= 1/3 (a + b + c)^2`
`-> (a + b + c)^2 <= 36`
`-> a + b + c <= 6`
Ta xét :
`6(a^2 + b^2 + c^2) >= (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) = (a^3 + ab^2) + (b^3 + bc^2) + (c^3 + ca^2) + (a^2b + b^2c + c^2a)`
Theo BĐT `C ô si` ta có
`6(a^2 + b^2 + c^2) >= 2\sqrt{a^3 .ab^2} + 2\sqrt{b^3 . bc^2} + 2\sqrt{c^3 . ca^2} + (a^2b+ b^2 + c^2a) = 3(a^2b + b^2c + c^2a)`
`-> a^2b+ b^2c + c^2a <= 2(a^2 + b^2 + c^2)`
`________________________`
`P = a^2/b + b^2/c + c^2/a = a^4/(a^2b) + b^4/(b^2c) + c^4/(c^2a)`
Áp dụng BĐT `Cô – si` dạng cộng mẫu ta có :
`P >= (a^2 + b^2 + c^2)^2/(a^2b+ b^2c + c^2a) >= (a^2 + b^2 + c^2)^2/(2(a^2 + b^2 + c^2)) = (a^2 + b^2 + c^2)/2 = 12/2 = 6`
Dấu “=” xảy ra `<=> x = y = z = 4`
Câu `2a,b` thì bn dưới đã giải
Giải thích các bước giải:
Đáp án+Giải thích các bước giải:
`2a)2/(x^2+2y^2+3)<=1/(xy+y+1)`
`<=>2(xy+y+1)<=x^2+2y^2+3`
`<=>x^2+2y^2+3-2xy-2y-2>=0`
`<=>x^2-2xy+y^2+y^2-2y+1>=0`
`<=>(x-y)^2+(y-1)^2>=0` luôn đúng.
Dấu “=” xảy ra khi `x=y=1`
`2b)1/(c^2+2a^2+3)`
`=1/(c^2+a^2+a^2+1+2)`
Áp dụng BĐT cosi
`=>1/(c^2+2a^2+3)<=1/(2ac+2a+2)`
`<=>1/(c^2+2a^2+3)<=1/(2(ac+a+1))`
Hoàn toàn tương tự:
`=>1/(a^2+2b^2+3)<=1/(2(ab+b+1))`
`=>1/(b^2+2c^2+3)<=1/(2(bc+c+1))`
`=>A<=1/2(1/(ab+b+1)+1/(bc+c+1)+1/(ac+a+1))`
`<=>A<=1/2(1/(ab+b+1)+(ab)/(ab^2c+abc+ab)+(b)/(abc+ab+b))`
`<=>A<=1/2(1/(ab+b+1)+(ab)/(ab+b+1)+b/(ab+b+1))(abc=1)`
`<=>A<=1/2((ab+b+1)/(ab+b+1))`
`<=>A<=1/2`
Dấu “=” xảy ra khi `a=b=c=1`