1,Cho các số nguyên x,y,z thỏa mãn x=yz . Chứng minh rằng (x+y)(x+z) chia hết cho 4
2,CMR mọi số chính phương chia 5 dư 0 hoặc 1 hoặc 4
1,Cho các số nguyên x,y,z thỏa mãn x=yz . Chứng minh rằng (x+y)(x+z) chia hết cho 4
2,CMR mọi số chính phương chia 5 dư 0 hoặc 1 hoặc 4
`1,` `(x+y)(x+z)`
`=x^2+xy+xz+yz`
`=y^2z^2+y^2z+yz^2+yz`
`=y^2(z^2+z)+y(z^2+z)`
`=(y^2+y)(z^2+z)`
`=[y(y+1)].[z(z+1)]`
`Vì` `y(y+1);z(z+1)⋮2`
`⇒[y(y+1)].[z(z+1)]⋮4` `(đpcm)`
`2,` gọi số đó là `x`
`⇒x∈{5k;5k+1;5k+2;5k+3;5k+4}` `(k∈N)`
\(⇒\left[ \begin{array}{l}x=5k\\x=5k+1\\x=5k+2\\x=5k+3\\x=5k+4\end{array} \right.⇒\left[ \begin{array}{l}x^2=25k^2⋮5\\x^2=25k^2+10k+1\text{ chia 5 dư 1}\\x^2=25k^2+20k+4\text{ chia 5 dư 4}\\x^2=25k^2+30k+9\text{ chia 5 dư 4}\\x^2=25k^2+40k+16\text{ chia 5 dư 1}\end{array} \right.\)
`⇒` Mọi `SCP` đều chia `5` dư `0;1;4` `(đpcm)`
Đáp án:
Ta có :
$( x + y)( x + z ) = ( yz + y)(yz + z) = y.(z + 1) .z.(y+1)$ ( x,y,z ∈ Z)
Ta thấy y ; y + 1 là 2 số TN liên tiếp
=> 1 trong 2 số là số chẵn
=> y.(y+1) chia hết cho 2 (1)
Lập luận tương tự ta được :
=> z.(z+1) chia hết cho 2 (2)
Từ (1) và (2)
=> y.(y+1).z.(z+1) chia hết cho 4
=> đpcm
2. Gọi số đó là t ( t ∈ N)
Ta sẽ biểu diễn t dưới dạng : 5k ; 5k + 1 ; 5k + 2 ; 5k + 3 ; 5k + 4 ( k ∈ N )
Với $t = 5k => t^2 = (5k)^2 = 25k^2$chia hết cho 5 hay là chia 5 dư 0
Với $t = 5k + 1 => t^2 = (5k+1)^2 = 25k^2 + 10k + 1$
Do 25k^2 chia hết cho 5 ; 10k chia hết cho 5 ; 1 chia 5 dư 1
=> $25k^2 + 10k + 1$ chia 5 dư 1
=> $t^2$ chia 5 dư 1
Với $t = 5k + 2 => t^2 =(5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4$
Lập luận tương tự khác là 4 chia 5 dư 4
=> $25k^2 + 10k + 4$ chia 5 dư 4
=> t^2 chia 5 dư 4
Với $t = 5k + 3 => t^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9$
Tương tự khác chỗ 9 chia 5 dư 4
=> $t^2$ chia 5 dư 4
Với $t = 5k + 4 => t^2 = (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16$
Tương tự khác chỗ 16 chia 5 dư 1
=> $t^2$ chia 5 dư 1
Vậy mọi số chính phương chia 5 dư 0 hoặc 1 hoặc 4
Câu 2. Áp dụng đồng dư
Gọi số đó là t ( t ∈ N)
Do t là STN => t chia 5 có thể dư là 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4
Với t chia 5 dư 0
=> $t^2$ chia hết cho 5
=> t^2 chia 5 dư 0
Với t chia 5 dư 1
$=> t ≡ 1 ( mod 5)$
$=> t^2 ≡ 1 ( mod 5)$
Với t chia 5 dư 2
$ => t ≡ 2 ( mod 5)$
$ => t^2 ≡ 2^2 ( mod 5)$
$ => t^2 ≡ 4 (mod 5)$
=> t^2 chia 5 dư 4
Với t chia 5 dư 3
$ => t ≡ 3 ( mod 5)$
$ => t^2 ≡ 3^2 ( mod 5)$
$ => t^2 ≡ 4 (mod 5)$
=> t^2 chia 5 dư 4
Với t chia 5 dư 4
$ => t ≡ 4 ( mod 5)$
$ => t^2 ≡ 4^2 ( mod 5)$
$ => t^2 ≡ 1 (mod 5)$
=> t^2 chia 5 dư 1
Giải thích các bước giải: