1, Cho hcn ABCD và điểm O nằm trong hcn đó .Chứng minh rằng OA^2+OC^2=OB^2+CD^2
2, Cho tam giác ABC nhọn dduowwgf cao CK ,H là trực tâm của tam giác .Gọ M là 1 điểm trên CK sao cho góc AMB =90 độ ,S ,S1 ,S2 lần lượt là diện tích của tam giác AMB,ABC,ABH .Chứng minh rằng S=căn S1.S2
Các bạn làm hộ mk với mk cần gấp
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1/
Qua O kẻ \(FG\perp AB,CD\) như hình vẽ
Ta thấy $AFGD$ và $BFGC$ có các góc đều là góc vuông nên chúng là hình chữ nhật. Do đó \(AF=DG; BF=CG\)
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác vuông ta có:
\(\left\{\begin{matrix} OA^2=OF^2+FA^2\\ OB^2=OF^2+FB^2\\ OC^2=OG^2+GC^2\\ OD^2=OG^2+GD^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow OA^2+OC^2-(OB^2+OD^2)=FA^2+GC^2-(FB^2+GD^2)\)
Do \(AF=DG; BF=CG\Rightarrow AF^2=DG^2; BF^2=GC^2\)
\(\Rightarrow FA^2+GC^2-(FB^2+GD^2)=0\)
\(\Leftrightarrow OA^2+OC^2-(OB^2+OD^2)=0\)
\(\Leftrightarrow OA^2+OC^2=OB^2+OD^2\)
Ta có đpcm
2/
Tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\), có \(MK \perp AB\).
nên \(MK^2 = AK . BK\) (1)
\(\triangle{AHK}\sim \triangle CBK\) vì có \(\widehat {AKH} = \widehat{CKB} = 90^o;\)
\(\widehat{KAH} = \widehat{KCB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\))
Suy ra \(\dfrac{AK}{CK} = \dfrac{HK}{BK},\)
do đó \(AK.KB = CK .KH\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MK^2 = CK . HK\) nên \( MK = \sqrt {CK . HK};\) (1)
Ta có: `S_1=S_{\Delta ABC}=\frac{CK.AB}{2}, S_2=S_{\Delta ABH}=\frac{HK.AB}{2}`
`⇒ S_1.S_2=\frac{AB^2.(CK.HK)}{4}`
`⇒ \sqrt{S_1.S_2}=\frac{AB.\sqrt{CK.HK}}{2}`
Thay `(1)` vào ta có:
`\sqrt{S_1.S_2}=\frac{AB.MK}{2}=S_{\Delta AMB}=S`
`⇒` ĐPCM