1) Cho hệ phương trình: x+my=m+1 (1)
mx+y=3m-1 (2)
a) Giải hệ phương trình khi m=1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà tích x, y có giá trị nhỏ nhất
1) Cho hệ phương trình: x+my=m+1 (1)
mx+y=3m-1 (2)
a) Giải hệ phương trình khi m=1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà tích x, y có giá trị nhỏ nhất
Đáp án:
$\begin{array}{l}
a)m = 1\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 2\\
x + y = 2
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy khi m=1 thì hệ pt có nghiệm đúng với mọi x;y sao cho x+y=2
b)
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + my = m + 1\\
mx + y = 3m – 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
mx + {m^2}y = {m^2} + m\\
mx + y = 3m – 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {m^2}y – y = {m^2} + m – 3m + 1\\
\Rightarrow \left( {{m^2} – 1} \right).y = {m^2} – 2m + 1\\
\Rightarrow \left( {m – 1} \right)\left( {m + 1} \right).y = {\left( {m – 1} \right)^2}\left( * \right)
\end{array}$
Hệ pt có nghiệm duy nhất khi pt (*) có nghiệm duy nhất
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( {m – 1} \right)\left( {m + 1} \right) \ne 0\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
m \ne – 1
\end{array} \right.\\
\Rightarrow y = \frac{{m – 1}}{{m + 1}}\\
\Rightarrow x = m + 1 – my = m + 1 – \frac{{{m^2} – m}}{{m + 1}} = \frac{{3m + 1}}{{m + 1}}\\
\Rightarrow x.y = \frac{{3m + 1}}{{m + 1}}.\frac{{m – 1}}{{m + 1}} = \frac{{3{m^2} – 2m – 1}}{{{m^2} + 2m + 1}} = A\\
\Rightarrow A.{m^2} + 2A.m + A = 3{m^2} – 2m – 1\\
\Rightarrow \left( {A – 3} \right){m^2} + 2.\left( {A + 1} \right).m + A + 1 = 0\\
\Rightarrow \Delta ‘ \ge 0\\
\Rightarrow {\left( {A + 1} \right)^2} – \left( {A – 3} \right)\left( {A + 1} \right) \ge 0\\
\Rightarrow {A^2} + 2A + 1 – {A^2} + 2A + 3 \ge 0\\
\Rightarrow 4A \ge – 4\\
\Rightarrow A \ge – 1\\
\Rightarrow GTNN:xy = – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = – 1\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.\\
Vậy\,m = 0
\end{array}$