1.Cho $S_{n}$ = $(\sqrt[]{2}+1)^{2}$ + $(\sqrt[]{2}-1)^{2}$ với n = 1; 2 ; 3 ; 4;……. Chứng minh rằng: $S_{2011}$.$S_{2012}$ – $S_{4023}$ = 2$\sq

Bởi

1.Cho $S_{n}$ = $(\sqrt[]{2}+1)^{2}$ + $(\sqrt[]{2}-1)^{2}$ với n = 1; 2 ; 3 ; 4;…….
Chứng minh rằng: $S_{2011}$.$S_{2012}$ – $S_{4023}$ = 2$\sqrt[]{2}$

0 bình luận về “1.Cho $S_{n}$ = $(\sqrt[]{2}+1)^{2}$ + $(\sqrt[]{2}-1)^{2}$ với n = 1; 2 ; 3 ; 4;……. Chứng minh rằng: $S_{2011}$.$S_{2012}$ – $S_{4023}$ = 2$\sq”

  1. Ta có

    $(\sqrt{2} – 1)(\sqrt{2} + 1) = 2-1 = 1$

    Vậy

    $\sqrt{2} + 1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=(\sqrt{2}-1)^{-1}$

    Khi đó ta có

    $S_n = (\sqrt{2}-1)^n + (\sqrt{2}-1)^{-n}= a^n +a^{-n}$

    với $a = \sqrt{2}-1$.

    Ta tính

    $S_{2011}.S_{2012} – S_{4023} = (a^{2011} + a^{-2011})(a^{2012} + a^{-2012}) – (a^{4023} + a^{-4023})$

    $= a^{4023} + a^{2011-2012} + a^{-2011+2012} + a^{-4023} – a^{4023} – a^{-4023}$

    $= a^{-1} + a^1$

    $= a + \dfrac{1}{a}$

    $= \sqrt{2}-1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}-1}$

    $= \sqrt{2}-1 + \sqrt{2} + 1 = 2\sqrt{2} = VP$.

    Vậy ta có

    $S_{2011}.S_{2012} – S_{4023} = 2\sqrt{2}$

    Bình luận

Viết một bình luận