1. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O; R), AB = x. Tìm x để diện tích tam giác ABC lớn nhất.
2. Để bất phương trình $\sqrt[ ]{(x+4)(6-x)}$ ≤ x² -3x + a nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định thì giá trị của tham số a phải thỏa mãn điều kiện?
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Gọi E là trung điểm BC. Đặt $OE=a\Rightarrow CE=\sqrt{R^2-a^2}$
\[\begin{array}{l} {S_{ABC}} = CE.AE = (R + a)\sqrt {{R^2} – {a^2}} = \sqrt {{{(R + a)}^3}(R – a)} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\sqrt {(R + a)(R + a)(R + a)(3R – 3a)} \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\sqrt {{{\left( {\frac{{R + a + R + a + R + a + 3R – 3a}}{4}} \right)}^4}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\sqrt {{{\left( {\frac{{3R}}{4}} \right)}^4}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{R^2}\\ \Rightarrow \max {S_{ABC}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{R^2} \Leftrightarrow R + a = 3R – 3a \Leftrightarrow 2a = R \Leftrightarrow AB = AC = BC \end{array}\]
Vậy $AB=x=R\sqrt{3}$ thì $S_{ABC}$ lớn nhất.