1. Cho tam giác ABC thỏa mãn sinA = (sinB +sinC) / (cosB +cosC) . Chứng minh tam guacs ABC vuông 2. Cho tam giác ABC thỏa mãn sinA / ma = sinB/mb = si

0 bình luận về “1. Cho tam giác ABC thỏa mãn sinA = (sinB +sinC) / (cosB +cosC) . Chứng minh tam guacs ABC vuông 2. Cho tam giác ABC thỏa mãn sinA / ma = sinB/mb = si”

1. 1.

   Ta có: $ A+ B+C=180^o$ (tính chất tổng ba góc trong một tam giác)

   $\Rightarrow\dfrac{A}{2}+\dfrac B2+\dfrac C2=90^o$

   $\Rightarrow\dfrac B2+\dfrac C2=\dfrac {\pi}2-\dfrac A2$

   $\Rightarrow\sin\left({\dfrac B2 + \dfrac C2}\right) =\sin\left({\dfrac {\pi}2 -\dfrac A2}\right) = \cos\dfrac A2$;

   $\cos\left({\dfrac B2 +\dfrac C2}\right) = \cos\left({\dfrac{\pi}2 -\dfrac A2}\right) = \sin\dfrac A2$; 

   $\sin A = \dfrac{\sin B + \sin C}{\cos B + \cos C}$

   $⇔ 2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2 = \dfrac{2\sin\left({\dfrac B2 +\dfrac C2}\right)\cos\left({\dfrac B2 – \dfrac C2}\right)}{2\cos\left({\dfrac B2 +\dfrac C2}\right)\cos\left({\dfrac B2 -\dfrac C2}\right)}$

   $⇔ 2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2 = \dfrac{\sin\left({\dfrac B2 +\dfrac C2}\right)}{\cos\left({\dfrac B2 + \dfrac C2}\right)}$

   $⇔ 2\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2 =\dfrac{ \cos\dfrac A2}{\sin\dfrac A2}$

   $⇔ 2\sin²\dfrac A2 = 1$

   $⇔ 1 – 2\sin²\dfrac A2 = 0$

   $⇔ \cos A = 0$

   $⇔ A =\dfrac π2$ (đpcm)

   2.

   Ta có:

   $4m^2_a = 2(b² + c²) – a²; \sin²A = \dfrac {a²}{4R²}$

   $4m^2_b = 2(c² + a²) – b²; \sin²B = \dfrac{b²}{4R²}$

   $4m^2_c = 2(a² + b²) – c²; \sin²C = \dfrac{c²}{4R²}$

   $\dfrac{\sin A}{m_a} = \dfrac {\sin B}{m_b} =\dfrac{\sin C}{m_c}$

   Lấy nghịch đảo, bình phương hai vế và nhân với 4

   $⇔ \dfrac{4m^2_a}{\sin²A} =\dfrac{ 4m^2_b}{\sin²B} = \dfrac{4m^2_c}{\sin²C}$

   $⇔ \dfrac{2(b² + c²) – a²}{a²} = \dfrac{2(c² + a²) – b²}{b²} =\dfrac {2(a² + b²) – c²}{c²}$

   $⇔ \dfrac{b² + c²}{a²} = \dfrac{c² + a²}{b²} =\dfrac{ a² + b²}{c²} = \dfrac{2(a² + b² + c²)}{a² + b² + c²} = 2$ (tính chất dãy tỉ số bằng nhau lớp 7)

   $⇔\left\{\begin{array}{I} b² + c² = 2a²(1)\\ c² + a² = 2b²(2)\end{array}\right.$

   Lấy (2) – (1) ta được:

   $a² – b² = 2(b² – a²)$

   $⇔ 3(a² – b²) = 0$

   $⇔ a = b$ thay vào (1) $⇒ c = a$

   $⇔ a = b = c$ (đpcm)

   Bình luận