1, cho tam giác ABC vuông tại A trên AB lấy điểm D trên AC lấy điểm E chứng minh CD^2+BE^2=CB^2+DE^2
2, cho hình vuông ABCD đường thẳng qua A cắt BC tại M cắt DC tại N chứng minh 1/DC^2=1/AN^2+1/AM^2
1, cho tam giác ABC vuông tại A trên AB lấy điểm D trên AC lấy điểm E chứng minh CD^2+BE^2=CB^2+DE^2
2, cho hình vuông ABCD đường thẳng qua A cắt BC tại M cắt DC tại N chứng minh 1/DC^2=1/AN^2+1/AM^2
1. Ta có: $CD^2 + BE^2$
$= (AD^2 + AC^2) + (AE^2 + AB^2)$
$= (AD^2+ AE^2) + (AB^2 + AC^2)$
$= DE^2 + BC^2$
2. Kẻ $AE\perp AN$ cắt $DC$ tại $E$
Xét $∆DAE$ và $∆BAM$ có:
$\widehat{D} = \widehat{B} = 90^o$
$AB = AD$
$\widehat{DAE} = \widehat{BAM}$ (cùng phụ $\widehat{DAM}$)
Do đó $∆DAE = ∆BAM$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
$\Rightarrow AE = AM$
Áp dụng hệ thức lượng trong $∆AEN$ vuông tại $A$, đường cao $AD$ ta được:
$\dfrac{1}{AD^2} = \dfrac{1}{AE^2} + \dfrac{1}{AN^2}$
mà $AE = AM \, (cmt); \, AD = DC$
nên $\dfrac{1}{DC^2} = \dfrac{1}{AM^2} + \dfrac{1}{AN^2}$ (đpcm)