1) cho x,y ,z là ba số dương chứng minh rằng:
$\frac{1}{x^2+yz}$ + $\frac{1}{y^2+xz}$ + $\frac{1}{z^2+ xy}$ $\leq$ $\frac{1}{2}$($\frac{1}{xy}$ + $\frac{1}{yz}$ + $\frac{1}{xz}$ )
2) cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn `x+y+z=2`. tìm MIN của M= $\frac{x^2}{y+z}$+ $\frac{y^2}{x+z}$ + $\frac{z^2}{x+y}$
Đáp án:
cách khác của câu 2 đây bạn :
Áp dụng BĐT `Cô si` ta có :
`x^2/(y + z) + (y + z)/4 ≥ 2\sqrt{x^2/(y + z) . (y + z)/4} = x`
tương tự
`-> y^2/(x + z) + (x + z)/4 >= y`
`z^2/(x + y) + (x + y)/4 >= z`
Cộng từng vế lại ta được :
`M + (x + y+ z)/2 >= x + y + z`
`-> M >= (x + y + z)/2 = 2/2 = 1`
Dấu “=” xảy ra `<=> x = y = z = 2/3`
Vậy `….`
Giải thích các bước giải:
Đáp án:Đánh bằng điện thoại đau tay ghê á :<
Giải thích các bước giải:
1)Đặt biểu thức là S
Áp dụng cosi với các số dương:
`x^2+yz>=2x\sqrt{yz}`
`=>1/(x^2+yz)<=1/(2x\sqrt{yz})=1/2((\sqrt{yz})/(xyz))`
Hoàn toàn tương tự:
`1/(y^2+xz)<=1/2((\sqrt{xz})/(xyz))`
`1/(z^2+xy)<=1/2((\sqrt{xy})/(xyz))`
`=>S<=1/2((\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})/(xyz))`
Với mọi số dương ta có:
`(sqrtx-sqrty)^2+(sqrty-sqrtz)^2+(sqrtz-sqrtx)^2>=0`
`<=>x+y+y+z+z+x-2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx})>=0`
`=>\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}<=x+y+z`
`=>A<=1/2((x+y+z)/(xyz))`
`=>A<=1/2(1/(xy)+1/(yz)+1/(zx))`
Dấu “=” xảy ra khi `x=y=z`
2)
Áp dụng BĐT cosi-schwars:
`M>=(x+y+z)^2/(x+y+y+z+z+x)`
`<=>M>=(x+y+z)^2/(2(x+y+z))`
`<=>M>=(x+y+z)/2=1`
Dấu “=” xảy ra ki `x=y=z=2/3`