1/Chứng minh 3n+2 và 5n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau ( với n là số tự nhiên )
2/ Cho A = 3^40 + 3^41 + 3^42 . TÌM SỐ DƯ CỦA KHI CHIA CHO 13.
1/Chứng minh 3n+2 và 5n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau ( với n là số tự nhiên )
2/ Cho A = 3^40 + 3^41 + 3^42 . TÌM SỐ DƯ CỦA KHI CHIA CHO 13.
Đáp án:
a) \(3n + 2\) và \(5n + 3\) là hai số nguyên tố cùng nhau.
b) Số dư khi chia A cho 13 bằng 0.
Giải thích các bước giải:
1) Gọi \(\left( {3n + 2;5n + 3} \right) = d\,\,\left( {d \in N} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3n + 2\,\, \vdots \,\,d\\5n + 3\,\, \vdots \,\,d\end{array} \right.\\ \Rightarrow 5\left( {3n + 2} \right) – 3\left( {5n + 3} \right)\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 15n + 10 – 15n – 9\,\, \vdots \,\,d\\ \Rightarrow 1\,\, \vdots \,\,d\end{array}\)
Mà \(d \in N \Rightarrow d = 1\).
Vậy \(\left( {3n + 2;5n + 3} \right) = 1\) hay \(3n + 2\) và \(5n + 3\) là hai số nguyên tố cùng nhau.
2) Ta có:
\(\begin{array}{l}A = {3^{40}} + {3^{41}} + {3^{42}}\\A = {3^{40}}\left( {1 + 3 + {3^2}} \right)\\A = {3^{40}}.13\\ \Rightarrow A\,\, \vdots \,\,13\end{array}\)
Vậy số dư khi chia A cho 13 bằng 0.