1, Chứng minh các hằng đẳng thức:
a, $(a + b + c)^{3}$ – $a^{3}$ – $b^{3}$ – $c^{3}$ = 3 (a + b) (b + c) (c + a)
b, $a^{3}$ + $b^{3}$ + $c^{3} – 3abc = (a + b + c) ($a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2} – ab – bc – ac)
2, a, Cho x + y = 1. Tính GTBT $x^{3}$ + $y^{3}$ + 3xy
b, Cho x – y = 1. Tính GTBT $x^{3}$ – $y^{3}$ – 3xy
Mong mn giúp!
Đáp án + Giải thích các bước giải:
Bài 1:
$a)\; (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)$
Ta có: $VT=(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3\\\;\;\;\;\,\ =a^3+b^3+c^3+3(a+b)+3(a+c)+3(b+c)\\\;\;\;\;\,\ =3(a+b)+3(a+c)+3(b+c)\\\;\;\;\;\,\ =3(a+b)(a+c)(b+c)=VP$ (đpcm)
$b)\; a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$
Ta có: $VP=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\\\;\;\;\;\,\ =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)\\\;\;\;\;\,\ =(a+b+c)^3[(a+b)^2-(ac+bc)+c^2]-3a(a+b)-3abc\\\;\;\;\;\,\ =a^3+b^3+c^3-3abc=VT$ (đpcm)
Bài 2:
$a)\;$ Ta có: $x^3+y^3+3xy=(x+y)(x^2-xy+y^2)+3xy\\=x^2-xy+y^2+3xy\\=(x+y)^2=1$
$b)\;$ Ta có: $x^3-y^3-3xy=(x-y)(x^2+xy+y^2)+3xy\\=x^2+xy+y^2-3xy\\=(x-y)^2=1$