1) Chứng minh rằng tổng của 2 số nguyên chia hết cho 3 thì lập phương của chúng chia hết cho 9
2) Cho 3 số dương thỏa mãn x+y+z = 6
Chứng minh (x+y)/(xyz) $\geq$ 4/9
Làm 1 câu cũng được ạ
1) Chứng minh rằng tổng của 2 số nguyên chia hết cho 3 thì lập phương của chúng chia hết cho 9
2) Cho 3 số dương thỏa mãn x+y+z = 6
Chứng minh (x+y)/(xyz) $\geq$ 4/9
Làm 1 câu cũng được ạ
Đáp án+Giải thích các bước giải:
1)
Gọi x và y là 2 số thỏa mãn đề bài
`=> x + y vdots 3`
Ta có `x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)`
`<=> (x+y)[(x^2+2xy+y^2) -3xy]`
`<=> (x+y)[(x+y)^2 – 3xy]`
Vì `x+y vdots 3` nên `(x+y)^2 – 3xy vdots 3`
`=> (x+y)[(x+y)^2 – 3xy] vdots 9`
Vậy tổng của 2 số nguyên chia hết cho 3 thì lập phương của chúng chia hết cho 9
2)
Ta có `(x+y)^2 ge 4xy (Cô-si)` (1)
`=> [(x+y) + z]^2 ge 4(x+y)z`
`<=> 36 ge 4(x+y)z` Vì `x+y+z = 6`
`<=> 36(x+y) ge 4(x+y)^2 z` ( Vì x và y dương nên `x+y` dương) (2)
Từ (1) và (2) `=> 36(x+y)ge 16xyz`
`<=> x+y ge 4/9 xyz`
`<=> (x+y)/(xyz) ge 4/9 (đpcm)`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1)
Gọi x và y là 2 số thỏa mãn đề bài
⇒x+y⋮3⇒x+y⋮3
Ta có x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
⇔(x+y)[(x2+2xy+y2)−3xy]⇔(x+y)[(x2+2xy+y2)-3xy]
⇔(x+y)[(x+y)2−3xy]⇔(x+y)[(x+y)2-3xy]
Vì x+y⋮3x+y⋮3 nên (x+y)2−3xy⋮3(x+y)2-3xy⋮3
⇒(x+y)[(x+y)2−3xy]⋮9⇒(x+y)[(x+y)2-3xy]⋮9
Vậy tổng của 2 số nguyên chia hết cho 3 thì lập phương của chúng chia hết cho 9
2)
Ta có (x+y)2≥4xy(Cô−si)(x+y)2≥4xy(Cô-si) (1)
⇒[(x+y)+z]2≥4(x+y)z⇒[(x+y)+z]2≥4(x+y)z
⇔36≥4(x+y)z⇔36≥4(x+y)z Vì x+y+z=6x+y+z=6
⇔36(x+y)≥4(x+y)2z⇔36(x+y)≥4(x+y)2z ( Vì x và y dương nên x+yx+y dương) (2)
Từ (1) và (2) ⇒36(x+y)≥16xyz⇒36(x+y)≥16xyz
⇔x+y≥49xyz⇔x+y≥49xyz
⇔x+yxyz≥49(đpcm)