1/ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y= (m-1)x^3 – 3(m+2)x^2 – 6(m+2)x+1 có y’<=0, với mọi x thuộc R. A. 1 B. 2

Đáp án:

1. \(C\)

2. \(A\)

Giải thích các bước giải:

 1. 

\(TXĐ: D=R\)

\(y’=3(m-1)x^{2}-6(m+2)x-6(m+2)\)

Theo đề: \(y’ \leq 0\)

\(\Leftrightarrow 3(m-1)x^{2}-6(m+2)x-6(m+2) \leq 0\)

TH1: \(a=0 \Leftrightarrow m-1=0 \)

\(\Rightarrow m=1\)

Ta có: \(-18x-18 \leq 0\)

\(\Leftrightarrow x \geq -1\) (loại)

TH2: \(a \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 1\)

\(y’=3(m-1)x^{2}-6(m+2)x-6(m+2) \leq 0\)

\(\Leftrightarrow \) $\begin{cases}m-1<0\\\Delta’ \leq 0\end{cases}$

\(\Leftrightarrow \) $\begin{cases}m<1\\9(m+2)^{2}+(3m-3)(6m+12)\leq 0\end{cases}$

\(\Leftrightarrow \) $\begin{cases}m<1\\27m^{2}+54m \leq 0\end{cases}$

\(\Leftrightarrow \) $\begin{cases}m<1\\-2 \leq m \leq 0\end{cases}$

\(\Rightarrow -2 \leq m <1\)

\(\Rightarrow m =-2; m=-1; m=0\)

Chọn \(C\)

2. 

\(TXĐ: D=R\)

\(y’=mx^{2}-2(m-1)x+3(m+2)\)

TH1: \(m=0\)

\(\Rightarrow y’=2x+6\) 

\(y’ >0 \Rightarrow x >-3\) 

\(\Rightarrow \) Hàm số đồng biến \((2;+\infty)\)

TH2: \(m \neq 0\)

Để hàm số đồng biến \((2;+\infty)\):

\(y’ \geq 0\) \(\forall x \epsilon [2;+\infty)\) (Do hàm số liên tục tại \(x=2\))

\(\Leftrightarrow mx^{2}-2(m-1)x+3(m+2) \geq 0\) \(\forall x \epsilon [2;+\infty)\)

\(\Leftrightarrow m(x^{2}-2x+3)  \geq -2x-6\) \(\forall x \epsilon [2;+\infty)\)

\(\Leftrightarrow m \geq \dfrac{-2x-6}{x^{2}-2x+3}=h(x)\)  \(\forall x \epsilon [2;+\infty)\) (Do \(x^{2}-2x+3=(x-1)^{2}+2>0\))

\(h'(x)=\dfrac{2x^{2}+12x-18}{(x^{2}-2x+3)^{2}}\) \(\forall x \epsilon [2;+\infty)\)

Cho \(h'(x)=0 \Rightarrow \)  \(\left[ \begin{array}{l}x=-3+3\sqrt{2}\\x=-3-3\sqrt{2}\end{array} \right. \notin [2;+\infty)\)  

\(\Rightarrow m \geq h(2)\)

\(\Leftrightarrow m \geq -\dfrac{10}{3}\)

Trả lời