1/Giải phương trình:
a/ sin5x.cos3x = sin7x.cos5x
b/ √2 ( sinx − 2cosx ) = 2 − sin2x
2/ Phương trình 2sinx ( 1 + cos2x ) = 1 + 2 cosx là phương trình hệ quả của phương trình:
A. cos2x = 0
B. 2cosx – 1 = 0
C. sin2x + 1 = 0
D. sin2x – 1 = 0
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đáp án:
1) $a) x = k\dfrac{\pi }{2}\left( {k \in Z} \right)$ và $x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{{10}}\left( {k \in Z} \right)$
$b) x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ và $x = – \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$
2)
Giải thích các bước giải:
$\begin{array}{l}
1)\\
a)\sin 5x.\cos 3x = \sin 7x.\cos 5x\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\sin 8x + \sin 2x} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin 12x + \sin 2x} \right]\\
\Leftrightarrow \sin 8x = \sin 12x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
12x = 8x + k2\pi \\
12x = \pi – 8x + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = k2\pi \\
20x = \pi + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\dfrac{\pi }{2}\\
x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{{10}}
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là: $x = k\dfrac{\pi }{2}\left( {k \in Z} \right)$ và $x = \dfrac{\pi }{{20}} + k\dfrac{\pi }{{10}}\left( {k \in Z} \right)$
$\begin{array}{l}
b)\sqrt 2 \left( {\sin x – 2\cos x} \right) = 2 – \sin 2x\\
\Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\sin x – 2\cos x} \right) = 2 – 2\sin x.\cos x\\
\Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\sin x – 2\cos x} \right) = 2 – \sin x.2\cos x\\
\Leftrightarrow \sqrt 2 \sin x\left( {1 + \sqrt 2 \cos x} \right) – 2\left( {1 + \sqrt 2 \cos x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 2 \cos x} \right)\left( {\sqrt 2 \sin x – 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = \dfrac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }}\left( c \right)\\
\sin x = \sqrt 2 \left( l \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{{ – 1}}{{\sqrt 2 }}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\
x = – \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm là: $x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$ và $x = – \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)$