1) Rút gọn biểu thức: cotα+tanα/1+tan2α.tanα
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d):x+3y-3=0 và điểm A(-2,0).viết phương trình đường thẳng (∆) qua A và tạo với (d) góc 45°
1) Rút gọn biểu thức: cotα+tanα/1+tan2α.tanα
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d):x+3y-3=0 và điểm A(-2,0).viết phương trình đường thẳng (∆) qua A và tạo với (d) góc 45°
Đáp án:
`1)` `2cot2α`
`2)` $(∆): 2x+y+4=0$
hoặc $(∆)x-2y+2=0$
Giải thích các bước giải:
`1)` Ta có:
`\qquad cotα+tanα`
`={cosα}/{sinα}+{sinα}/{cosα}`
`={cos^2α+sin^2α}/{cosαsinα}`
`=1/{1/ 2 sin2α}`
`=2/{sin2α}`
$\\$
`\qquad 1+tan2α.tanα`
`=1+{2tanα}/{1-tan^2α}.tanα`
`={1-tan^2α+2tan^2α}/{1-tan^2α}`
`={1+tan^2α}/{1-tan^2α}`
$=\dfrac{1+\dfrac{sin^2α}{cos^2α}}{1-\dfrac{sin^2α}{cos^2α}}$
$=\dfrac{\dfrac{cos^2α+sin^2α}{cos^2α}}{\dfrac{cos^2α-sin^2α}{cos^2α}}$
`=1/{cos2α}`
`=>{cotα+tanα}/{1+tan2α.tanα}`
$=\dfrac{\dfrac{2}{sin2α}}{\dfrac{1}{cos2α}}$`={2cos2α}/{sin2α}=2cot2α`
$\\$
`2)` $(d): x+3y-3=0; A(-2;0)$
`=>VTPT \ \vec{n_d}=(1;3)`
Gọi `VTPT\ \vec{n_∆}=(a;b)\ne \vec{0}`
`=>cos(∆;d)=cos(\vec{n_∆};\vec{n_d})=cos45°=1/ {\sqrt{2}}`
`<=>|\vec{n_∆}.\vec{n_d}|/{|\vec{n_∆}|.|\vec{n d}|}=1/{\sqrt{2}}`
`<=>|a.1+b.3|/{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{1^2+3^2}}=1/{\sqrt{2}}`
`<=>\sqrt{2}.|a+3b|=\sqrt{10(a^2+b^2)}`
`<=>2(a+3b)^2=10(a^2+b^2)`
`<=>2(a^2+6ab+9b^2)=10a^2+10b^2`
`<=>-8a^2+12ab+8b^2=0`
`<=>2a^2-3ab-2b^2=0`
`<=>2a(a-2b)+b(a-2b)=0`
`<=>(a-2b)(2a+b)=0`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}a=2b\\a=\dfrac{-1}{2}b\end{array}\right.$
$\\$
+) $TH: a=2b$
Chọn `b=1=>a=2`
Phương trình đường thẳng đi qua $A(-2;0)$ có `\vec{n}=(2;1)` là:
`(∆): 2(x+2)+1.(y-0)=0`
`(∆): 2x+y+4=0`
$\\$
+) `TH: a=-1/ 2 b`
Chọn `b=-2=>a=1`
Phương trình đường thẳng đi qua $A(-2;0)$ có `\vec{n}=(1;-2)` là:
`(∆): 1(x+2)-2.(y-0)=0`
`(∆): x-2y+2=0`
$\\$
Vậy $(∆): 2x+y+4=0$
hoặc $(∆)x-2y+2=0$