1.Tìm X để A= $\frac{x}{x^{2}+1 }$ là số nguyên 2. Tìm X để B= $\frac{2-x}{x^2}$ là số nguyên

Đáp án:

`1)` `x=0`

`2)` `x\in {-2;-1;1;2}` 

Giải thích các bước giải:

`1)` `A=x/{x^2+1}`

`A={2x}/{2(x^2+1)}`

`={x^2+1+2x -(x^2+1)}/{2(x^2+1)}`

`={(x+1)^2}/{2(x^2+1)}-{x^2+1}/{2(x^2+1)}`

`={(x+1)^2}/{2(x^2+1)}-1/2`

Với mọi `x` ta có:  $\begin{cases}(x+1)^2\ge 0\\2(x^2+1)\ge 2>0\end{cases}$

`=>{(x+1)^2}/{2(x^2+1)}\ge 0`

`=>{(x+1)^2}/{2(x^2+1)}-1/2\ge -1/2` `(1)`

$\\$

`A={2x}/{2(x^2+1)}`
`={-(x^2+1-2x) +(x^2+1)}/{2(x^2+1)}`
`={-(x-1)^2}/{2(x^2+1)}+{x^2+1}/{2(x^2+1)}`
`={-(x-1)^2}/{2(x^2+1)}+1/2`

Với mọi `x` ta có:  $\begin{cases}-(x-1)^2\le 0\\2(x^2+1)\ge 2>0\end{cases}$
`=>{-(x-1)^2}/{2(x^2+1)}\le 0`
`=>{-(x-1)^2}/{2(x^2+1)}+1/2\le 1/2` `(2)`

$\\$

Từ `(1);(2)=>-1/2\le A\le 1/2`

Vì `A\in ZZ=>A=0`

`=>x/{x^2+1}=0<=>x=0`

Vậy `x=0` thì `A\in ZZ`

$\\$

`2)` `B={2-x}/{x^2}` `(x\ne 0)`

Vì `x\in ZZ=>2+x\in ZZ`

`\qquad B\in ZZ`

`=>(2+x){2-x}/{x^2}\in ZZ`

`=>{4-x^2}/{x^2}\in ZZ`

`=>4/{x^2}-{x^2}/{x^2}\in ZZ`

`=>4/{x^2}\in ZZ`

`=>x^2\in Ư(4)={-4;-2;-1;1;2;4}`

Vì `x^2>0` với mọi `x\ne 0`

`\qquad x\in ZZ=>x^2` là số chính phương 

`=>x^2\in {1;4}`

`=>x\in {-1;1;-2;2}`

Vậy `x\in {-2;-1;1;2}` thì `B\in ZZ`