1. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y=x^3 -2x^2 +(m-3)x+5 đạt cực trị tại x1, x2 thỏa mãn x1^2 + x2^2=4

Đáp án:

$m = -\dfrac13$

Giải thích các bước giải:

$\quad y = x^3 – 2x^2 + (m-3)x + 5$

$\Rightarrow y’ = 3x^2 – 4x + m – 3$

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y’}’ >0$

$\Leftrightarrow 4 – 3(m-3) >0$

$\Leftrightarrow m < \dfrac{13}{3}$

Hai điểm cực trị $x_1,\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y’ = 0$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = \dfrac43\\x_1x_2 = \dfrac{m-3}{3}\end{cases}$

Ta có:

$\quad x_1^2 + x_2^2 = 4$

$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 = 4$

$\Leftrightarrow \dfrac{16}{9} – 2\cdot \dfrac{m-3}{3} = 4$

$\Leftrightarrow 6m =-2$

$\Leftrightarrow m = -\dfrac13$ (nhận)

Vậy $m = -\dfrac13$