Toán 1.Tìm x, y E N: 2^x + 57 = y^2 2.Tìm x E N: 3^x + 4^x = 5^x 20/07/2021 By Aubrey 1.Tìm x, y E N: 2^x + 57 = y^2 2.Tìm x E N: 3^x + 4^x = 5^x
Đáp án: nếu x lẻ .$2^{x}$ ≡2(mod 3)⇒$2^{x}$+57 ≡2(mod3)⇒pt vô nghiệm nếu x chẵn đặt x=2k (k∈N) khi đó :$2^{2k}$ +57=$y^{2}$ ⇔(y-$2^{k}$)(y+ $2^{k}$) =57 do x,y,k∈N nên y- $2^{k}$<y+ $2^{k}$ khi đó ta có 2th TH1 :y-$2^{k}$=1 và y+ $2^{k}$=57 ⇔y=29⇒k∉N (vô lý) TH2:y-$2^{k}$=3 và y+ $2^{k}$=19 ⇒y=11⇒k=3⇒x=6 vậy x=6 /y=11 2/ $3^{x}$+ $4^{x}$= $5^{x}$ ⇔ $\frac{3^{x}}{ 5^{x}}$ + $\frac{4^{x}}{5^{x}}$ =1 (1) với x=1⇒vt của (1)>vp của (1) (ktm) với x=2⇒9/25 +16/25 =1 9tm) với x>2 ta có:$\frac{3^{x}}{5^{x}}$ < $\frac{9}{25}$ , $\frac{4^{x}}{5^{x}}$< $\frac{16}{25}$ ⇒pt vô nghiêm vậy x=2 Trả lời
Giải thích các bước giải: 1.Vì $2^x+57\quad\not\vdots\quad 3\rightarrow y^2\equiv 1(mod 3)$ $\rightarrow 2^x\equiv 1(mod 3)$ $\rightarrow x=2k$ $\rightarrow 2^{2k}+57=y^2$ $\rightarrow y^2-2^{2k}=57$ $\rightarrow (y-2^k)(y+2^k)=57$ $\rightarrow y-2^k,y+2^k$ là cặp ước của 57 Mà $(y+2^k)+(y-2^k)>0 , y+2^k>y-2^k$ $\rightarrow (y-2^k,y+2^k)\in\{(3,19),(1,57)\}$ $\rightarrow (y,2^k)\in\{(11,8),(29,28)\}$ $\rightarrow (y,k)\in\{11,3)\}$ do $k\in Z$ $\rightarrow (x,y)=(6,11)$ Trả lời
Đáp án:
nếu x lẻ .$2^{x}$ ≡2(mod 3)⇒$2^{x}$+57 ≡2(mod3)⇒pt vô nghiệm
nếu x chẵn đặt x=2k (k∈N)
khi đó :$2^{2k}$ +57=$y^{2}$
⇔(y-$2^{k}$)(y+ $2^{k}$) =57
do x,y,k∈N nên y- $2^{k}$<y+ $2^{k}$
khi đó ta có 2th
TH1 :y-$2^{k}$=1 và y+ $2^{k}$=57 ⇔y=29⇒k∉N (vô lý)
TH2:y-$2^{k}$=3 và y+ $2^{k}$=19 ⇒y=11⇒k=3⇒x=6
vậy x=6 /y=11
2/
$3^{x}$+ $4^{x}$= $5^{x}$
⇔ $\frac{3^{x}}{ 5^{x}}$ + $\frac{4^{x}}{5^{x}}$ =1 (1)
với x=1⇒vt của (1)>vp của (1) (ktm)
với x=2⇒9/25 +16/25 =1 9tm)
với x>2 ta có:$\frac{3^{x}}{5^{x}}$ < $\frac{9}{25}$ , $\frac{4^{x}}{5^{x}}$< $\frac{16}{25}$ ⇒pt vô nghiêm
vậy x=2
Giải thích các bước giải:
1.Vì $2^x+57\quad\not\vdots\quad 3\rightarrow y^2\equiv 1(mod 3)$
$\rightarrow 2^x\equiv 1(mod 3)$
$\rightarrow x=2k$
$\rightarrow 2^{2k}+57=y^2$
$\rightarrow y^2-2^{2k}=57$
$\rightarrow (y-2^k)(y+2^k)=57$
$\rightarrow y-2^k,y+2^k$ là cặp ước của 57
Mà $(y+2^k)+(y-2^k)>0 , y+2^k>y-2^k$
$\rightarrow (y-2^k,y+2^k)\in\{(3,19),(1,57)\}$
$\rightarrow (y,2^k)\in\{(11,8),(29,28)\}$
$\rightarrow (y,k)\in\{11,3)\}$ do $k\in Z$
$\rightarrow (x,y)=(6,11)$