1.Tìm x, y E N: 2^x + 57 = y^2 2.Tìm x E N: 3^x + 4^x = 5^x

0 bình luận về “1.Tìm x, y E N: 2^x + 57 = y^2 2.Tìm x E N: 3^x + 4^x = 5^x”

1. Đáp án:

    

   nếu x lẻ .$2^{x}$ ≡2(mod 3)⇒$2^{x}$+57 ≡2(mod3)⇒pt vô nghiệm

   nếu x chẵn đặt x=2k (k∈N)

   khi đó :$2^{2k}$ +57=$y^{2}$ 

   ⇔(y-$2^{k}$)(y+ $2^{k}$) =57

   do x,y,k∈N nên y- $2^{k}$<y+ $2^{k}$ 

   khi đó ta có 2th

   TH1 :y-$2^{k}$=1 và y+ $2^{k}$=57 ⇔y=29⇒k∉N (vô lý)

   TH2:y-$2^{k}$=3 và y+ $2^{k}$=19 ⇒y=11⇒k=3⇒x=6

   vậy x=6 /y=11

   2/

   $3^{x}$+ $4^{x}$= $5^{x}$

   ⇔ $\frac{3^{x}}{ 5^{x}}$ + $\frac{4^{x}}{5^{x}}$ =1 (1)

   với x=1⇒vt của (1)>vp của (1) (ktm)

   với x=2⇒9/25 +16/25 =1 9tm)

   với x>2 ta có:$\frac{3^{x}}{5^{x}}$ < $\frac{9}{25}$ , $\frac{4^{x}}{5^{x}}$< $\frac{16}{25}$ ⇒pt vô nghiêm

   vậy x=2

   Bình luận

2. Giải thích các bước giải:

   1.Vì $2^x+57\quad\not\vdots\quad 3\rightarrow y^2\equiv 1(mod 3)$

   $\rightarrow 2^x\equiv 1(mod 3)$

   $\rightarrow x=2k$

   $\rightarrow 2^{2k}+57=y^2$

   $\rightarrow y^2-2^{2k}=57$

   $\rightarrow (y-2^k)(y+2^k)=57$

   $\rightarrow y-2^k,y+2^k$ là cặp ước của 57

   Mà $(y+2^k)+(y-2^k)>0 , y+2^k>y-2^k$

   $\rightarrow (y-2^k,y+2^k)\in\{(3,19),(1,57)\}$ 

   $\rightarrow (y,2^k)\in\{(11,8),(29,28)\}$ 

   $\rightarrow (y,k)\in\{11,3)\}$ do $k\in Z$

   $\rightarrow (x,y)=(6,11)$

   Bình luận