10. Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi M, N lần lượt là
các điểm thuộc HC và HB sao cho AMB=ANC=90 độ. Chứng minh rằng tam giác AMN là
tam giác cân.
10. Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi M, N lần lượt là
các điểm thuộc HC và HB sao cho AMB=ANC=90 độ. Chứng minh rằng tam giác AMN là
tam giác cân.
Đáp án:
Xét `ΔABD`và `ΔACE`có :
`∠BAC` chung
`∠ADB=∠AEC=90`
`⇒ΔABD≈ΔACE`
`⇒{AB}/{AC}={AD}/{AE}`
`⇒AB.AE= AD.AC`
Xét `ΔANB⊥N`
`⇒AN²=AE.AB`
`⇒AM²=AD.AC`
Từ các kết quả trên :
`AB.AE= AD.AC`
`AN²=AE.AB`
`AM²=AD.AC`
`⇔AM=AN`
`⇒ΔMAN` là `Δ` cân tại `A`
Tam giác AMB vuông tại M, ta có
AM²=AE.AB (1)
Tam giác ANC vuông tại N, ta có
AN²=AD.AC (2)
△ABD∼△ACE (g−g), ta có
AD.AC=AE.AB (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AM² = AN², do dó AM=AN. Vậy △AMN là tam giác cân tại A