10c0*90c10+10c1*90c9+…+10c10*90c0=100c10 . CMR đẳng thức giúp e nha mn <3

Ta có:

`(1+x)^{10}.(1+x)^{90}=(1+x)^{100}`

Đặt:

`P(x)=(1+x)^{10}.(1+x)^{90}`

`Q(x)=(1+x)^{100}`

Ta có:

+) `P(x)=(1+x)^{10}.(1+x)^{90}`

$=\sum\limits _ {i=0} ^{10} C_{10} ^i x^i .\sum\limits _ {j=0} ^{90} C_{90} ^j x^j$

+) `Q(x)=(1+x)^{100}` $=\sum\limits _ {k=0} ^{100} C_{100} ^k x^k$

Vì `P(x)=Q(x)` nên hệ số của số hạng chứa $x^{10}$ ở hai đa thức bằng nhau.

`=>i+j=10` và `\quad k=10`

`=>j=10-i` với `i\in{0;1;…;10}; i\in N`

`=>` $\sum\limits _ {i=0} ^{10} C_{10} ^i .C_{90} ^j=C_{100} ^{10}$ $(j=10-i)$

`=>C_{10} ^0. C_{90} ^{10-0}+C_{10} ^1. C_{90} ^{10-1}+…+C_{10} ^{10}. C_{90} ^{10-10}=C_{100} ^{10}`

`<=>C_{10} ^0. C_{90} ^{10}+C_{10} ^1. C_{90} ^9 +…+C_{10} ^{10}. C_{90} ^0=C_{100} ^{10}` (đpcm)