x^2 -(2m+3)x+m=0
a) chứng minh rằng: phương trình có nghiệm với mọi m
b) gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình.Tìm giá trị nhỏ nhất của m để x1^2,x2^2 có giá trị nhỏ nhất
x^2 -(2m+3)x+m=0
a) chứng minh rằng: phương trình có nghiệm với mọi m
b) gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình.Tìm giá trị nhỏ nhất của m để x1^2,x2^2 có giá trị nhỏ nhất
Đáp án:
$\begin{array}{l}
a){x^2} – \left( {2m + 3} \right).x + m = 0\\
\Rightarrow \Delta = {\left( {2m + 3} \right)^2} – 4.m\\
= 4{m^2} + 12m + 9 – 4m\\
= 4{m^2} + 8m + 9\\
= \left( {4{m^2} + 8m + 4} \right) + 5\\
= 4{\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0
\end{array}$
Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b)
$\begin{array}{l}
TheoViet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m + 3\\
{x_1}{x_2} = m
\end{array} \right.\\
x_1^2 + x_2^2\\
= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2}\\
= {\left( {2m + 3} \right)^2} – 2m\\
= 4{m^2} + 12m + 9 – 2m\\
= 4{m^2} + 10m + 9\\
= {\left( {2m} \right)^2} + 2.2m.\dfrac{5}{2} + \dfrac{{25}}{4} + \dfrac{{11}}{4}\\
= {\left( {2m + \dfrac{5}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} \ge \dfrac{{11}}{4}\\
\Rightarrow GTNN:x_1^2 + x_2^2 = \dfrac{{11}}{4}\\
Khi:m = \dfrac{{ – 5}}{4}
\end{array}$