2. Cho a, b, c ∈ Q thỏa mãn điều kiện ab + ac + bc = 1 . Chứng minh rằng ( 1 + a² ) ( 1 + b² ) (1 + c² ) là bình phương của một số hữu tỉ

0 bình luận về “2. Cho a, b, c ∈ Q thỏa mãn điều kiện ab + ac + bc = 1 . Chứng minh rằng ( 1 + a² ) ( 1 + b² ) (1 + c² ) là bình phương của một số hữu tỉ”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   ( 1 + a²) (1 +b²) (1 + c²)

   = (ab + ac + bc + a²) (ab + ac + bc + b²) (ab + ac + bc + c²) ( vì ab + ac + bc = 1)

   =[a(a + b) + c ( a + b)]   [b(a + b) + c (a + b)]   [c ( a + c) + b (a + c)]

   =(a + c) (a+ b) (b + c) (a + b) ( b + c) (a + c)

   = ( a + c)² . (a + b)² . (b + c)²

   =[ (a + c) (a + b) (b + c) ]²

   Mà [ (a + c) (a + b) (b + c) ]² là bình phương của 1 số hữu tỉ nên:

   →( 1 + a²) (1 +b²) (1 + c²) là bình phương của 1 số hữu tỉ (đpcm)

    

   Bình luận

2. Ta thay `1=ab+ac+bc` vào `( 1 + a^2 ) ( 1 + b^2) (1 + c^2)` ta có:

   `(ab+ac+bc+a^2)(ab+ac+bc+b^2)(ab+ac+bc+c^2)`

   `=[(ab+a^2)+(ac+bc)][(ab+b^2)+(ac+bc)][(ab+bc)+(ac+c^2)]`

   `=[a(a+b)+c(a+b)][b(a+b)+c(a+b)][b(a+c)+c(a+c)]`

   `=(a+b)(a+c)(a+b)(b+c)(a+c)(b+c)`

   `=(a+b)^2(a+c)^2(b+c)^2`

   `=[(b+a)(a+c)(b+c)]^2.`

   Ta có: `ab + ac + bc = 1⇒ab,ac,bc` là các số hữu tỉ `⇒a,b,c` là các số hữu tỉ `⇒`ta có `dpcm.`

   Vậy nếu `a,b,c∈Q` thỏa mãn `1=ab+ac+bc` thì `( 1 + a^2 ) ( 1 + b^2) (1 + c^2)` là bình phương của một số hữu tỉ.

   Bình luận