2x²-(m+3)x+m=0. (1) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 sao cho E=|2017×1-2017×2| đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp án:

\(MinE = \sqrt {8136578} \)

Giải thích các bước giải:

 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l}
 \to \Delta  > 0\\
 \to {m^2} + 6m + 9 – 4.2.m > 0\\
 \to {m^2} – 2m + 9 > 0\left( {ld} \right)\forall m\\
Vi – et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m + 3}}{2}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{m}{2}
\end{array} \right.\\
E = \left| {2017{x_1} – 2017{x_2}} \right|\\
 = 2017\left| {{x_1} – {x_2}} \right|\\
 \to {E^2} = {2017^2}\left( {{x_1}^2 – 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\\
 = {2017^2}\left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 – 4{x_1}{x_2}} \right)\\
 = {2017^2}.\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 4{x_1}{x_2}} \right)\\
 = {2017^2}.\left( {\dfrac{{{m^2} + 6m + 9}}{4} – 4.\dfrac{m}{2}} \right)\\
 = {2017^2}.\dfrac{{{m^2} + 6m + 9 – 8m}}{4}\\
 = \dfrac{{{{2017}^2}}}{4}.\left( {{m^2} – 2m + 9} \right)\\
 = \dfrac{{{{2017}^2}}}{4}.\left[ {{{\left( {m – 1} \right)}^2} + 8} \right]\\
Do:{\left( {m – 1} \right)^2} \ge 0\forall m\\
 \to {\left( {m – 1} \right)^2} + 8 \ge 8\\
 \to \dfrac{{{{2017}^2}}}{4}.\left[ {{{\left( {m – 1} \right)}^2} + 8} \right] \ge 8136578\\
 \to E \ge \sqrt {8136578} \\
 \to MinE = \sqrt {8136578} \\
 \Leftrightarrow m = 1
\end{array}\)