20 tỏi làm nhanh giúp ạ Cho x,y thõa mãn x+y ≤1 Tìm GTNN của M=x²+1/x ² +y ²+1/y ²

Đáp án: $MinM =  \dfrac{17}{2} ⇔ x = y = \dfrac{1}{2}$ 

Giải thích các bước giải:

$ 0 < xy ≤ (\dfrac{x + y}{2})² ≤ \dfrac{1}{4} ⇒ \dfrac{1}{8xy} ≥ \dfrac{1}{2} (1)$

$ M = x² + y² + \dfrac{1}{x²} + \dfrac{1}{y²}$

$ ≥ 2\sqrt{x²y²} + 2\sqrt{\dfrac{1}{x²}.\dfrac{1}{y²}} (2)$

$ = 2xy + \dfrac{2}{xy} = 2xy +\dfrac{1}{8xy} + 15.\dfrac{1}{8xy} (3)$

$ ≥ 2\sqrt{2xy.\dfrac{1}{8xy}} + 15.\dfrac{1}{2} = 1 + \dfrac{15}{2} = \dfrac{17}{2} $

Vậy $MinM =  \dfrac{17}{2} $ khi đồng thời xảy ra dấu $’=’$ ở $(1); (2); (3)$:

$ x = y; 2xy = \dfrac{1}{8xy}; \dfrac{1}{8xy} = \dfrac{1}{2}$

$ ⇔ x = y = \dfrac{1}{2}$