20 tỏi làm nhanh giúp ạ Cho x,y thõa mãn x+y ≤1 Tìm GTNN của M=x²+1/x ² +y ²+1/y ² 12/07/2021 Bởi Julia 20 tỏi làm nhanh giúp ạ Cho x,y thõa mãn x+y ≤1 Tìm GTNN của M=x²+1/x ² +y ²+1/y ²
Đáp án: $MinM = \dfrac{17}{2} ⇔ x = y = \dfrac{1}{2}$ Giải thích các bước giải: $ 0 < xy ≤ (\dfrac{x + y}{2})² ≤ \dfrac{1}{4} ⇒ \dfrac{1}{8xy} ≥ \dfrac{1}{2} (1)$ $ M = x² + y² + \dfrac{1}{x²} + \dfrac{1}{y²}$ $ ≥ 2\sqrt{x²y²} + 2\sqrt{\dfrac{1}{x²}.\dfrac{1}{y²}} (2)$ $ = 2xy + \dfrac{2}{xy} = 2xy +\dfrac{1}{8xy} + 15.\dfrac{1}{8xy} (3)$ $ ≥ 2\sqrt{2xy.\dfrac{1}{8xy}} + 15.\dfrac{1}{2} = 1 + \dfrac{15}{2} = \dfrac{17}{2} $ Vậy $MinM = \dfrac{17}{2} $ khi đồng thời xảy ra dấu $’=’$ ở $(1); (2); (3)$: $ x = y; 2xy = \dfrac{1}{8xy}; \dfrac{1}{8xy} = \dfrac{1}{2}$ $ ⇔ x = y = \dfrac{1}{2}$ Bình luận
Giải thích các bước giải: `M=(x^2+1)/x^2+(y^2+1)/y^2` `=1+1/x^2+1+1/y^2` `=(x^2+y^2)/(xy)^2+2` `=((x^2+2xy+y^2)-2xy)/(xy)^2+2` `=(x+y)^2/(xy)^2-2/(xy)+2` `=[((x+y)/(xy))^2-2/(xy)+(1/(x+y))^2]+2` `=((x+y)/(xy)-1/(x+y))^2+2` `=(((x+y)^2-xy)/(xy(x+y)))^2+2>=2` `<=>(x+y)^2-xy=0` `=>xy=1` Bình luận
Đáp án: $MinM = \dfrac{17}{2} ⇔ x = y = \dfrac{1}{2}$
Giải thích các bước giải:
$ 0 < xy ≤ (\dfrac{x + y}{2})² ≤ \dfrac{1}{4} ⇒ \dfrac{1}{8xy} ≥ \dfrac{1}{2} (1)$
$ M = x² + y² + \dfrac{1}{x²} + \dfrac{1}{y²}$
$ ≥ 2\sqrt{x²y²} + 2\sqrt{\dfrac{1}{x²}.\dfrac{1}{y²}} (2)$
$ = 2xy + \dfrac{2}{xy} = 2xy +\dfrac{1}{8xy} + 15.\dfrac{1}{8xy} (3)$
$ ≥ 2\sqrt{2xy.\dfrac{1}{8xy}} + 15.\dfrac{1}{2} = 1 + \dfrac{15}{2} = \dfrac{17}{2} $
Vậy $MinM = \dfrac{17}{2} $ khi đồng thời xảy ra dấu $’=’$ ở $(1); (2); (3)$:
$ x = y; 2xy = \dfrac{1}{8xy}; \dfrac{1}{8xy} = \dfrac{1}{2}$
$ ⇔ x = y = \dfrac{1}{2}$
Giải thích các bước giải:
`M=(x^2+1)/x^2+(y^2+1)/y^2`
`=1+1/x^2+1+1/y^2`
`=(x^2+y^2)/(xy)^2+2`
`=((x^2+2xy+y^2)-2xy)/(xy)^2+2`
`=(x+y)^2/(xy)^2-2/(xy)+2`
`=[((x+y)/(xy))^2-2/(xy)+(1/(x+y))^2]+2`
`=((x+y)/(xy)-1/(x+y))^2+2`
`=(((x+y)^2-xy)/(xy(x+y)))^2+2>=2`
`<=>(x+y)^2-xy=0`
`=>xy=1`