3.Trong hệ trục tọa độ ÕY cho hàm số y = -x + m
a.Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua A( -1; 3 )
b.Xác định m để đồ thị của hàm số (*) cắt đồ thị của hàm số y = 2x -1 tại điểm nằm trong góc vuông phần tư thứ IV
c.Chứng tỏ giao điểm của đường thẳng y = -x +m (*) với đường thẳng y = 2x -m luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi m thay đổi
Đáp án:
a) \(m=2\)
b) \(1 < m < \dfrac{5}{2}\).
c) Giao điểm thuộc đường thẳng \( y = \dfrac{1}{2}x\).
Giải thích các bước giải:
\(y = – x + m\).
a) Để đồ thị hàm số đi qua \(A\left( { – 1;3} \right)\) thì
\(3 = – \left( { – 1} \right) + m \Leftrightarrow 3 = 1 + m \Leftrightarrow m = 2\).
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm
\( – x + m = 2x + 1 \Leftrightarrow 3x = m – 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{{m – 1}}{3}\)
Thay \(x = \dfrac{{m – 1}}{3}\) vào phương trình đường thẳng \(y = 2x – 1\) ta có:
\(y = 2.\dfrac{{m – 1}}{3} – 1 = \dfrac{{2m – 2 – 3}}{3} = \dfrac{{2m – 5}}{3}\).
\( \Rightarrow \left( * \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y = 2x – 1\) tại điểm \(A\left( {\dfrac{{m – 1}}{3};\dfrac{{2m – 5}}{3}} \right)\).
Để A nằm trong góc phần tư thứ IV thì
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} > 0\\{y_A} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{m – 1}}{3} > 0\\\dfrac{{2m – 5}}{3} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m < \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\).
Vậy \(1 < m < \dfrac{5}{2}\).
c) Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\( – x + m = 2x – m \Leftrightarrow 3x = 2m \Leftrightarrow x = \dfrac{{2m}}{3}\)
Thay \(x = \dfrac{{2m}}{3}\) vào phương trình đường thẳng \(y = – x + m\) ta có:
\(y = – \dfrac{{2m}}{3} + m = \dfrac{m}{3}\).
\( \Rightarrow \) (*) cắt đường thẳng \(y = 2x – m\) tại \(B\left( {\dfrac{{2m}}{3};\dfrac{m}{3}} \right)\).
Ta có \({x_B} = 2{y_B}\,\,\forall m \Rightarrow B \in \) đường thẳng \(x = 2y \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{2}x\) cố định với mọi m.