(-35)×51+35×49= Chứng tỏ rằng (2n+5) và (3n+7) là hai số nguyên tố cùng nhau (x+1)+(x+2)+….+(x+2019)=2049235

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\left( { – 35} \right).51 + 35.49 = 35.\left( { – 51} \right) + 35.49 = 35.\left( { – 51 + 49} \right) = 35.\left( { – 2} \right) =  – 70\\
\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 2} \right) + \left( {x + 3} \right) + …. + \left( {x + 2019} \right) = 2049235\\
 \Leftrightarrow 2019x + \left( {1 + 2 + 3 + …. + 2019} \right) = 2049235\\
 \Leftrightarrow 2019x + \frac{{\left( {1 + 2019} \right).2019}}{2} = 2049235\\
 \Leftrightarrow 2019x + 1010.2019 = 2049235\\
 \Leftrightarrow 2019\left( {x + 1010} \right) = 2049235\\
 \Leftrightarrow x + 1010 = ….
\end{array}\)

Gọi ước chung lớn nhất của (2n+5) và (3n+7) là d (d>0)

Do 2n+5 là số lẻ nên d không thể là số chẵn hay d cũng là số lẻ

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {2n + 5} \right) \vdots d\\
\left( {3n + 7} \right) \vdots d
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3.\left( {2n + 5} \right) \vdots d\\
2\left( {3n + 7} \right) \vdots d
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6n + 15 \vdots d\\
6n + 14 \vdots d
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left[ {\left( {6n + 15} \right) – \left( {6n + 14} \right)} \right] \vdots d\\
 \Rightarrow 1 \vdots d\\
 \Rightarrow d = 1
\end{array}\)

Suy ra (2n+5) và (3n+7) nguyên tố cùng nhau.