4. a. Chứng minh rằng: `n^5 – 5n^3 + 4n` chia hết cho 120 với mọi số nguyên n.
b. Chứng minh rằng: `n^3 – 3n^2 – n + 3` chia hết cho 48 với mọi số lẻ n
4. a. Chứng minh rằng: `n^5 – 5n^3 + 4n` chia hết cho 120 với mọi số nguyên n. b. Chứng minh rằng: `n^3 – 3n^2 – n + 3` chia hết cho 48 với mọi số lẻ
By Genesis
4.a) n⁵ – 5n³ + 4n
= n(n – 1)(n – 2)(n + 1)(n + 2)
Chia hết cho 2; 3; 4; 5 = 120
b) n³ – 3n² -n + 3
= n²(n – 3) – (n – 3)
= (n – 3)(n – 1)(n + 1)
Thay n= 2k+1 ta được:
( 2k – 2) 2k( 2k + 2) hay 8( k – 1) k( k + 1)
Vậy tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6
=> Tích trên chia hết cho 48
Đáp án:
a, Ta có
`n^5 – 5n^3 + 4n`
`= n^5 – n^3 – 4n^3 + 4n`
`= n^3(n^2 – 1) – 4n(n^2 – 1)`
`= (n^2 – 1)(n^3 – 4n)`
`= (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)` chia hết cho `3,8,5`
`-> (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)` chia hết cho `120`
`-> đpcm`
b,
Ta có
`n^3 – 3n^2 – n + 3`
`= n^2(n – 3) – (n – 3)`
`= (n – 3)(n^2 – 1)`
`= (n – 3)(n – 1)(n + 1) (1)`
Đặt `n = 2k + 1 (k in N)`
` (1) <=> (2k + 1 – 3)(2k +1 – 1)(2k + 1 + 1)`
`= (2k – 2).2k.(2k + 2)`
`= 8(k – 1)k(k + 1)`
Do `k – 1 , k , k + 1` là `3` số liên tiếp
`-> (k – 1)k(k + 1)` chia hết cho `3 (2)`
Do `k – 1 , k` là `2` số liên tiếp
`-> (k – 1)k` chia hết cho `2`
`-> (k – 1)k(k + 1)` chia hết cho `2 (3)`
Từ `(2)(3)`
`-> (k – 1)k(k + 1)` chia hết cho `6 (2,3) = 1`
`-> 8(k – 1)k(k + 1)` chia hết cho `48`
`-> đpcm`
Giải thích các bước giải: