X^4 +y^4 lớn hơn hoặc bằng x^3y +xy^3 , với mọi x,y thuộc số thực 12/08/2021 Bởi Kylie X^4 +y^4 lớn hơn hoặc bằng x^3y +xy^3 , với mọi x,y thuộc số thực
$\begin{array}{l}{x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\\ \Leftrightarrow {x^4} – {x^3}y + {y^4} – x{y^3} \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^3}\left( {x – y} \right) + {y^3}\left( {y – x} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^3} – {y^3}} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x – y} \right)^2}\underbrace {\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}_{ > 0} \ge 0\\ \end{array}$ Vậy bất đẳng thức luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$ Bình luận
$\begin{array}{l}
{x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\\
\Leftrightarrow {x^4} – {x^3}y + {y^4} – x{y^3} \ge 0\\
\Leftrightarrow {x^3}\left( {x – y} \right) + {y^3}\left( {y – x} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^3} – {y^3}} \right) \ge 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x – y} \right)^2}\underbrace {\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}_{ > 0} \ge 0\\
\end{array}$
Vậy bất đẳng thức luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y$