4sinx+6cosx=1/cosx có bao nhiêu nghiệm thuộc (0;2pi)

0 bình luận về “4sinx+6cosx=1/cosx có bao nhiêu nghiệm thuộc (0;2pi)”

1. Đáp án:

   $x=\{\dfrac{3\pi}4;\dfrac{7\pi}4,\dfrac{2\pi}5;\dfrac{7\pi}5\}$

   Lời giải:

   $4\sin x+6\cos x=\dfrac{1}{\cos x}$

   Đk: $\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi}{2}+k\pi$

   Phương trình tương đương:

   $4\sin x\cos x+6{\cos}^2x=1$

   $\Rightarrow 2\sin 2x+3(\cos 2x+1)=1$

   $\Rightarrow 2\sin 2x+3\cos 2x=-2$

   $\Rightarrow\dfrac{2}{\sqrt{13}}\sin 2x+\dfrac{3}{\sqrt{13}}\cos 2x=\dfrac{-2}{\sqrt{13}}$

   Đặt $\cos \alpha=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ và $\sin\alpha=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$

   Phương trình tương đương:

   $\cos\alpha\sin2x+\sin\alpha\cos2x=\dfrac{-2}{\sqrt{13}}$

   $\Rightarrow \sin(2x+\alpha)=\dfrac{-2}{\sqrt{13}}$

   $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x+\alpha=\arcsin\dfrac{-2}{\sqrt{13}}+k2\pi \\ 2x+\alpha=\pi-\arcsin\dfrac{-2}{\sqrt{13}}+k2\pi \end{array} \right .$

   $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{-\alpha}{2}+\dfrac{1}{2}\arcsin\dfrac{-2}{\sqrt{13}}+k\pi=-\dfrac{\pi}4+k\pi \\ x=\dfrac{-\alpha}{2}+\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{2}\arcsin\dfrac{-2}{\sqrt{13}}+k\pi≈\dfrac{2\pi}5+k\pi\end{array} \right .(k\in\mathbb Z)$

   $x\in(0;2\pi)$

   $\Rightarrow x=\{\dfrac{3\pi}4;\dfrac{7\pi}4,\dfrac{2\pi}5;\dfrac{7\pi}5\}$.

   Bình luận