Tìm số tự nhiên `n` và hai số nguyên `a,b` thỏa mãn `n^2=a+b,n^3=a^2+b^2`

Đáp án:

`(n; a;b)\in {(0;0;0);(1;1;0);(1;0;1);(2;2;2)}`

Giải thích các bước giải:

Với mọi `a;b` ta có:

`\qquad (a-b)^2\ge 0`

`<=>a^2-2ab+b^2\ge 0`

`<=>a^2+b^2\ge 2ab`

`<=>a^2+b^2+a^1+b^2\ge a^2+2ab+b^2`

`<=>2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2`

$\\$

Vì `n^2=a+b;n^3=a^2+b^2`

Nên `(a+b)^2\le 2(a^2+b^2)`

`<=>(n^2)^2\le 2n^3`

`<=>n^4-2n^3\le 0`

`<=>n^3 (n-2)\le 0`

`=>n-2\le 0` (vì `n\in NN=>n\ge 0)`

`=>n\le 2`

`=>n\in {0;1;2}`

$\\$

+) `TH1: n=0` ta có:

`\qquad n^3=0=a^2+b^2` $(1)$

Vì `a^2\ge 0;b^2\ge 0` với mọi `a;b`

`(1)=>`$\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}$

$\\$

`=>a+b=0+0=0^2=n^2\ (thỏa\ mãn)`

`=>(n;a;b)=(0;0;0)`

$\\$

+) `TH2: n=1`

`\qquad n^3=1=a^2+b^2`

Vì `a;b\in ZZ;a^2\ge 0;b^2\ge 0` với mọi `a;b`

`=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}a^2=1\\b^2=0\end{cases}\\\begin{cases}a^2=0\\b^2=1\end{cases}\end{array}\right.$

`=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}a=±1\\b=0\end{cases}\\\begin{cases}a=0\\b=±1\end{cases}\end{array}\right.$

$\\$

++) `a=1;b=0`

`=>a+b=1+0=1=n^2`

`=>(n;a;b)=(1;1;0)`

$\\$

++) `a=-1;b=0;n^2=1`

`=>a+b=-1+0=-1\ne n^2`

`=>` loại `a=-1;b=0`

$\\$

Tương tự `a=0;b=1` thỏa mãn

`=>(n;a;b)=(1;0;1)`

$\\$

+) `TH3: n=2=>n^3=8`

Vì `a;b\in ZZ=>a^2;b^2` là số chính phương 

$\\$

`\qquad n^3=8=a^2+b^2`

`=>0\le a^2\le 8`

`=>a^2\in {0;1;4}`

`=>b^2=8-a^2\in {8;7;4}` 

`=>b^2=4` (`b^2` là số chính phương)

$\quad \begin{cases}a^2=4\\b^2=4\end{cases}$

`=>`$\begin{cases}a=±2\\b=±2\end{cases}$

$\\$

++) `n=2;a=2;b=2`

`=>a+b=2+2=4=2^2=n^2`

`=>(n;a;b)=(2;2;2)`

$\\$

++) `n=2;a=-2;b=2`

`=>a+b=-2+2=0\ne n^2`

`=>` Loại `a=-2;b=2`

$\\$

Tương tự loại `a=2;b=-2` và `a=-2;b=-2`

$\\$

Vậy bộ ba số thỏa đề bài là:

`(n;a;b)\in {(0;0;0);(1;1;0);(1;0;1);(2;2;2)}`

Trả lời