Toán Tìm số tự nhiên `n` và hai số nguyên `a,b` thỏa mãn `n^2=a+b,n^3=a^2+b^2` 11/07/2021 By Caroline Tìm số tự nhiên `n` và hai số nguyên `a,b` thỏa mãn `n^2=a+b,n^3=a^2+b^2`
Đáp án: `(n; a;b)\in {(0;0;0);(1;1;0);(1;0;1);(2;2;2)}` Giải thích các bước giải: Với mọi `a;b` ta có: `\qquad (a-b)^2\ge 0` `<=>a^2-2ab+b^2\ge 0` `<=>a^2+b^2\ge 2ab` `<=>a^2+b^2+a^1+b^2\ge a^2+2ab+b^2` `<=>2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2` $\\$ Vì `n^2=a+b;n^3=a^2+b^2` Nên `(a+b)^2\le 2(a^2+b^2)` `<=>(n^2)^2\le 2n^3` `<=>n^4-2n^3\le 0` `<=>n^3 (n-2)\le 0` `=>n-2\le 0` (vì `n\in NN=>n\ge 0)` `=>n\le 2` `=>n\in {0;1;2}` $\\$ +) `TH1: n=0` ta có: `\qquad n^3=0=a^2+b^2` $(1)$ Vì `a^2\ge 0;b^2\ge 0` với mọi `a;b` `(1)=>`$\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}$ $\\$ `=>a+b=0+0=0^2=n^2\ (thỏa\ mãn)` `=>(n;a;b)=(0;0;0)` $\\$ +) `TH2: n=1` `\qquad n^3=1=a^2+b^2` Vì `a;b\in ZZ;a^2\ge 0;b^2\ge 0` với mọi `a;b` `=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}a^2=1\\b^2=0\end{cases}\\\begin{cases}a^2=0\\b^2=1\end{cases}\end{array}\right.$ `=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}a=±1\\b=0\end{cases}\\\begin{cases}a=0\\b=±1\end{cases}\end{array}\right.$ $\\$ ++) `a=1;b=0` `=>a+b=1+0=1=n^2` `=>(n;a;b)=(1;1;0)` $\\$ ++) `a=-1;b=0;n^2=1` `=>a+b=-1+0=-1\ne n^2` `=>` loại `a=-1;b=0` $\\$ Tương tự `a=0;b=1` thỏa mãn `=>(n;a;b)=(1;0;1)` $\\$ +) `TH3: n=2=>n^3=8` Vì `a;b\in ZZ=>a^2;b^2` là số chính phương $\\$ `\qquad n^3=8=a^2+b^2` `=>0\le a^2\le 8` `=>a^2\in {0;1;4}` `=>b^2=8-a^2\in {8;7;4}` `=>b^2=4` (`b^2` là số chính phương) $\quad \begin{cases}a^2=4\\b^2=4\end{cases}$ `=>`$\begin{cases}a=±2\\b=±2\end{cases}$ $\\$ ++) `n=2;a=2;b=2` `=>a+b=2+2=4=2^2=n^2` `=>(n;a;b)=(2;2;2)` $\\$ ++) `n=2;a=-2;b=2` `=>a+b=-2+2=0\ne n^2` `=>` Loại `a=-2;b=2` $\\$ Tương tự loại `a=2;b=-2` và `a=-2;b=-2` $\\$ Vậy bộ ba số thỏa đề bài là: `(n;a;b)\in {(0;0;0);(1;1;0);(1;0;1);(2;2;2)}` Trả lời
Đáp án:
`(n; a;b)\in {(0;0;0);(1;1;0);(1;0;1);(2;2;2)}`
Giải thích các bước giải:
Với mọi `a;b` ta có:
`\qquad (a-b)^2\ge 0`
`<=>a^2-2ab+b^2\ge 0`
`<=>a^2+b^2\ge 2ab`
`<=>a^2+b^2+a^1+b^2\ge a^2+2ab+b^2`
`<=>2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2`
$\\$
Vì `n^2=a+b;n^3=a^2+b^2`
Nên `(a+b)^2\le 2(a^2+b^2)`
`<=>(n^2)^2\le 2n^3`
`<=>n^4-2n^3\le 0`
`<=>n^3 (n-2)\le 0`
`=>n-2\le 0` (vì `n\in NN=>n\ge 0)`
`=>n\le 2`
`=>n\in {0;1;2}`
$\\$
+) `TH1: n=0` ta có:
`\qquad n^3=0=a^2+b^2` $(1)$
Vì `a^2\ge 0;b^2\ge 0` với mọi `a;b`
`(1)=>`$\begin{cases}a=0\\b=0\end{cases}$
$\\$
`=>a+b=0+0=0^2=n^2\ (thỏa\ mãn)`
`=>(n;a;b)=(0;0;0)`
$\\$
+) `TH2: n=1`
`\qquad n^3=1=a^2+b^2`
Vì `a;b\in ZZ;a^2\ge 0;b^2\ge 0` với mọi `a;b`
`=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}a^2=1\\b^2=0\end{cases}\\\begin{cases}a^2=0\\b^2=1\end{cases}\end{array}\right.$
`=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}a=±1\\b=0\end{cases}\\\begin{cases}a=0\\b=±1\end{cases}\end{array}\right.$
$\\$
++) `a=1;b=0`
`=>a+b=1+0=1=n^2`
`=>(n;a;b)=(1;1;0)`
$\\$
++) `a=-1;b=0;n^2=1`
`=>a+b=-1+0=-1\ne n^2`
`=>` loại `a=-1;b=0`
$\\$
Tương tự `a=0;b=1` thỏa mãn
`=>(n;a;b)=(1;0;1)`
$\\$
+) `TH3: n=2=>n^3=8`
Vì `a;b\in ZZ=>a^2;b^2` là số chính phương
$\\$
`\qquad n^3=8=a^2+b^2`
`=>0\le a^2\le 8`
`=>a^2\in {0;1;4}`
`=>b^2=8-a^2\in {8;7;4}`
`=>b^2=4` (`b^2` là số chính phương)
$\quad \begin{cases}a^2=4\\b^2=4\end{cases}$
`=>`$\begin{cases}a=±2\\b=±2\end{cases}$
$\\$
++) `n=2;a=2;b=2`
`=>a+b=2+2=4=2^2=n^2`
`=>(n;a;b)=(2;2;2)`
$\\$
++) `n=2;a=-2;b=2`
`=>a+b=-2+2=0\ne n^2`
`=>` Loại `a=-2;b=2`
$\\$
Tương tự loại `a=2;b=-2` và `a=-2;b=-2`
$\\$
Vậy bộ ba số thỏa đề bài là:
`(n;a;b)\in {(0;0;0);(1;1;0);(1;0;1);(2;2;2)}`