Cho các số thực dương a,b. Chứng minh rằng:
$\sqrt[]{a^{2}+\frac{1}{b^{2}} }$ + $\sqrt[]{b^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$ $\geq$ 2$\sqrt[]{2}$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho các số thực dương a,b. Chứng minh rằng: $\sqrt[]{a^{2}+\frac{1}{b^{2}} }$ + $\sqrt[]{b^{2}+\frac{1}{a^{2}}}$ $\geq$ 2$\sqrt[]{2}$ Đẳng thức xảy
By aikhanh
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {{a^2} + \frac{1}{{{b^2}}}} + \sqrt {{b^2} + \frac{1}{{{a^2}}}} \ge \sqrt {2\sqrt {{a^2}.\frac{1}{{{b^2}}}} } + \sqrt {2.\sqrt {{b^2}.\frac{1}{{{a^2}}}} } \\
= \sqrt {\frac{{2a}}{b}} + \sqrt {\frac{{2b}}{a}} \ge 2\sqrt {\sqrt {\frac{{2a}}{b}} .\sqrt {\frac{{2b}}{a}} } = 2\sqrt {\sqrt 4 } = 2\sqrt 2
\end{array}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b
Đáp án:
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:
√a2+1b2+√b2+1a2≥√2√a2.1b2+√2.√b2.1a2=√2ab+√2ba≥2√√2ab.√2ba=2√√4=2√2
Giải thích các bước giải: