viết phương trình đường thẳng : y=ax^2+bx+c biết: P đi qua E (4;3), cắt Ox tại F (3;0), cắt Oy tại P sao cho tam giác EFP có diện tích bằng 1
viết phương trình đường thẳng : y=ax^2+bx+c biết: P đi qua E (4;3), cắt Ox tại F (3;0), cắt Oy tại P sao cho tam giác EFP có diện tích bằng 1
By Genesis
Đáp án:
\(\left[ \begin{array}{l}
\left( P \right):\,\,\,y = \frac{1}{6}{x^2} + \frac{{11}}{6}x – 7\\
\left( P \right):\,\,\,y = – \frac{1}{6}{x^2} + \frac{{25}}{6}x – 11
\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
E\left( {4;\,\,3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow 3 = 16a + 4b + c\\
F\left( {3;\,\,0} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow 0 = 9a + 3b + c\\
Oy \cap \left( P \right) = \left\{ P \right\} \Rightarrow P\left( {0;\,\,c} \right)\\
Ta\,\,co:\,\,\,\overrightarrow {EF} = \left( { – 1;\, – 3} \right) \Rightarrow EF = \sqrt {10} .\\
Pt\,\,duong\,\,thang\,\,\,EF:\,\,\frac{{x – 3}}{{4 – 3}} = \frac{y}{3}\\
\Leftrightarrow 3x – 9 = y \Leftrightarrow EF:\,\,\,3x – y – 9 = 0\\
\Rightarrow {S_{EFP}} = \frac{1}{2}d\left( {P;\,\,EF} \right).EF = 1\\
\Leftrightarrow \frac{{\left| { – c – 9} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + 1} }}.\sqrt {10} = 2 \Leftrightarrow \left| {c + 9} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
c + 9 = 2\\
x + 9 = – 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
c = – 7\\
c = – 11
\end{array} \right..\\
+ )\,\,Voi\,\,c = – 8\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9a + 3b – 7 = 0\\
16a + 4b – 7 = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{6}\\
b = \frac{{11}}{6}
\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,\,y = \frac{1}{6}{x^2} + \frac{{11}}{6}x – 7\\
+ )\,\,\,Voi\,\,x = – 11\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
9a + 3b – 11 = 0\\
16a + 4b – 11 = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = – \frac{1}{6}\\
b = \frac{{25}}{6}
\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,\,y = – \frac{1}{6}{x^2} + \frac{{25}}{6}x – 11
\end{array}\)
(P) đi qua E (4,3) và F(3,0)
-> 16a+4b+c=3
9a+3b+c=0
(P)∩Oy=P(0,c)
→ →
EF = (-1,-3) -> vtpt nEF= (3,-1)
-> EF= √10
đường thẳng EF đi qua F(3,0) và vtpt nEF=(3,-1)
-> pt đường thẳng EF: 3(x-3)-1(y-0)=0 <-> 3x-y-9=0
d(P,EF)=$\frac{|3.0-c-9|}{\sqrt[]{10}}$ = $\frac{|c+9|}{\sqrt[]{10}}$
S(EFP)=$\frac{1}{2}$ EF. d(P,EF) = $\frac{1}{2}$ .$\sqrt[]{10}$ .$\frac{|c+9|}{\sqrt[]{10}}$=$\frac{|c+9|}{2}$ =1
<-> |c+9|=2 <-> c+9=2 <-> c=-7
hoặc c+9=-2 <-> c=-11
Xét c=-7 -> $\left \{ {{16a+4b-7=3} \atop {9a+3b-7=0}} \right.$ <-> $\left \{ {{a=\frac{1}{6}} \atop {b=\frac{11}{6}}} \right.$
Xét c=-11 -> $\left \{ {{16a+4b-11=3} \atop {9a+3b-11=0}} \right.$ <-> $\left \{ {{a=\frac{-1}{6}} \atop {b=\frac{25}{6}}} \right.$