Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, biết BH=9, HC=16 Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC a) Tính AB, AC, AH b)Tính tổng AE.EB+AF.

0 bình luận về “Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH, biết BH=9, HC=16 Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC a) Tính AB, AC, AH b)Tính tổng AE.EB+AF.”

1. a) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABC$

   $AB^2 = BH.BC=9(9+16)$

   $\Rightarrow AB=15$

    

   $AC^2 = CH.BC=16(9+16)$

   $\Rightarrow AC=20$

    

   $AH^2 = BH.CH=9.16$

   $\Rightarrow AH=12$

    

   b) Tứ giác $AEHF$ có: $\widehat A=\widehat E=\widehat F=90^o$

   $\Rightarrow$ 4 Tứ giác $AEHF$ là hình chữ nhật.

   $\Rightarrow AH = EF = 12$

    

   Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABH$

   $HE^2 = AE.EB$ (1)

    

   Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ACH$

   $HF^2 = AF.FC$ (2)

    

   Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $EHF$

   $EF^2=EH^2+HF^2$ (3)

    

   Thay (1) và (2) vào (3) ta có:

   $AE.EB + AF.FC = EF^2=12^2=144$

    

   c) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $AHB$

   $AH.BH = HE. AB$

   $\Rightarrow HE=\dfrac{AH.BH}{AB}=\dfrac{12.9}{15}= 7,2$

    

   Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $AHC$

   $AH.CH = HF. AC$

   $\Rightarrow HF=\dfrac{AH.CH}{AC}=\dfrac{12.16}{20} = 9,6$

   $\Rightarrow P_{AEHF}=(HE + HF) .2 = (7,2 +9,6).2 = 33,6 $

   $S_{ AEHF} = HE.HF = 7,2.9,6 = 69,12$

    

   d) $S_{BEFC}=S_{ABC}-S_{AEF}=\dfrac{AB.AC}{2}-\dfrac{AE.AF}{2}$

   $=\dfrac{15.20}{2}-\dfrac{9,6.7,2}{2}=115,44$

    

   $P_{BEFC}=EB+BC+FC+EF$

   $=(15-9,6)+25+(20-7,2)+12$

   $=55,2$

    

   e) $AE.EB+AF.AC=EF^2$ (đã chứng minh ở câu b)

    

   $\Delta $ vuông $ABC$:

   $BH^2=BE.AB$

   $CH^2=CF.AC$

   Chia vế với vế

   $\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{BH^2}{CH^2}.\dfrac{AC}{AB}$ (*)

   Mà $AB^2=BH.BC \Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}$

   $AC^2=HC.BC \Rightarrow CH=\dfrac{AC^2}{BC}$ thay vào (*)

   Ta có:

   $\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{\dfrac{AB^4}{BC^2}}{\dfrac{AC^4}{BC^2}}.\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}$ (đpcm)

    

   $\Delta ABH$ và $\Delta AHC$

   $BE.AB=BH^2$

   $CF.CA=HC^2$

   $\Rightarrow BE.CF=\dfrac{BH^2.HC^2}{AB.AC}=\dfrac{BH^2.BC^2.CH^2.BC^2}{AB.AC.BC^4}$

   $=\dfrac{AB^4.AC^4}{AB.AC.BC^4}=\dfrac{AB^3.AC^3}{BC^4}=\dfrac{(AH.BC)^3}{BC^4}=\dfrac{AH^3}{BC}$

    

   $\Rightarrow BE.CF.BC=AH^3$

   Trả lời

2. Đáp án:

   Giải thích các bước giải:

   a, Xét ΔABC vuông tại A, AH là đường cao có :

   +, AB ² = BH.BC (Hệ thức lượng )

   ⇒ AB ² = 9.25 = 225

   ⇒ AB = 15

   +, AC ² = CH.BC (Hệ thức lượng)

   ⇒ AC ² = 16. 25 = 400

   ⇒ AC = 20

   +, AH ² = BH.CH (Hệ thức lượng)

   ⇒ AH ² = 9.16 = 144

   ⇒ AH = 12

   b, Xét tứ giác AEHF có :

   A = 90 ( ΔABC vuông tại A)

   AEH = 90 ( HE ⊥ AB )

   AFH = 90 ( HF ⊥ AC )

   ⇒ Tứ giác AEHF là hcn

   ⇒ AH = EF = 12

   Xét ΔAHB vuông tại h, HE là đường cao có :

   HE ² = AE.EB ( Hệ thức lượng ) (1)

   Xét ΔAHC vuông tại H, HF là đương cao có :

   HF ² = AF.FC ( hệ thức lượng ) (2)

   Xét ΔEHF vuông tại H có :

   HE ² + HF ² = EF ² (Định lý Pitago) (3)

   Thay (1) và (2) vào (3) ta có :

   AE.EB + AF.FC = EF ²

   ⇒ AE.EB + AF.FC = 12^2

   ⇒ AE.EB + AF.FC = 144

   c, Xét ΔAHB vuông tại E có :

   AH.BH = HE. AB

   ⇒ 12.9 = HE.15

   ⇒ HE = 7,2

   Xét ΔAHC vuông tại F có :

   AH.HC = HF.AC

   ⇒ 12.16 = HF.20

   ⇒ HF = 9,6

   Chu vi AEHF là : (HE + HF) .2 = (7,2 +9,6).2 = 33,6

   S AEHF = HE.HF = 7,2.9,6 = 69,12

   Trả lời