A(1:2) B(2:0) C (0:3) , I là điểm thỏa mãn hệ thức IA+3IC=2IB .Xác định tọa độ điểm I từ đó suy ra tọa độ điểm N là điểm nằm trên trục Ox sao cho biểu

0 bình luận về “A(1:2) B(2:0) C (0:3) , I là điểm thỏa mãn hệ thức IA+3IC=2IB .Xác định tọa độ điểm I từ đó suy ra tọa độ điểm N là điểm nằm trên trục Ox sao cho biểu”

1. Đáp án:

   \[I\left( { – 3;\frac{{11}}{2}} \right)\]

   \[N\left( { – 3;0} \right)\]

   Giải thích các bước giải:

   Gọi  \(I\left( {a;b} \right)\) là điểm thỏa mãn hệ thức đã cho.

   Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   \overrightarrow {IA} \left( {1 – a;\,\,2 – b} \right)\\
   \overrightarrow {IB} \left( {2 – a;\,\, – b} \right)\\
   \overrightarrow {IC} \left( { – a;\,\,3 – b} \right)\\
   \overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IC}  = 2\overrightarrow {IB} \\
    \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  – 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   \left( {1 – a} \right) – 2\left( {2 – a} \right) + 2.\left( { – a} \right) = 0\\
   \left( {2 – b} \right) – 2.\left( { – b} \right) + 3.\left( {3 – b} \right) = 0
   \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   a =  – 3\\
   b = \frac{{11}}{2}
   \end{array} \right.\\
    \Rightarrow I\left( { – 3;\frac{{11}}{2}} \right)
   \end{array}\)

   Lại có:

   \(\begin{array}{l}
   P = N{A^2} – 2N{B^2} + 3N{C^2}\\
    = {\overrightarrow {NA} ^2} – 2{\overrightarrow {NB} ^2} + 3{\overrightarrow {NC} ^2}\\
    = {\left( {\overrightarrow {NI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} – 2.{\left( {\overrightarrow {NI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {NI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\
    = N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} .\overrightarrow {IA}  + I{A^2} – 2.\left( {N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} .\overrightarrow {IB}  + I{B^2}} \right) + 3\left( {N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} .\overrightarrow {IC}  + I{C^2}} \right)\\
    = 2N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} \left( {\overrightarrow {IA}  – 2\overrightarrow {IB}  + 3\overrightarrow {IC} } \right) + \left( {I{A^2} – 2I{B^2} + 3I{C^2}} \right)\\
    = 2N{I^2} + 2\overrightarrow {NI} .\overrightarrow 0  + \left( {I{A^2} – 2I{B^2} + 3I{C^2}} \right)\\
    = 2N{I^2} + \left( {I{A^2} – 2I{B^2} + 3I{C^2}} \right)
   \end{array}\)

   Do I, A, B, C là các điểm cố định nên \(\left( {I{A^2} – 2I{B^2} + 3I{C^2}} \right)\) có giá trị không đổi.

   Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất khi \(2N{I^2}\) có giá trị nhỏ nhất. Hay \(NI\) có giá trị nhỏ nhất.

   Mặt khác, N là điểm nằm trên trục Ox nên NI nhỏ nhất khi N là hình chiếu vuông góc của I trên trục Ox.

   Do đó, \(N\left( { – 3;0} \right)\)

   Bình luận