A= (√x) / x-(√x)+1 Chứng minh rằng 0<=A<=1( 0 bé hơn hoặc bằng A bé hơn hoặc bằng 1) Giúp mình với! 08/11/2021 Bởi Abigail A= (√x) / x-(√x)+1 Chứng minh rằng 0<=A<=1( 0 bé hơn hoặc bằng A bé hơn hoặc bằng 1) Giúp mình với!
`A=(\sqrt{x})/(x-\sqrt{x}+1)` ĐKXĐ: `x>=0` Ta thấy `x-\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}-1/2)^2+3/4>0` với `∀x>=0` mà `\sqrt{x}>=0` với `∀x>=0` `=> A>=0` (Dấu = xảy ra khi `x=0`) (1) Xét hiệu: `1-A=1-(\sqrt{x})/(x-\sqrt{x}+1)` `1-A=(x-\sqrt{x}+1-\sqrt{x})/(x-\sqrt{x}+1)` `1-A=(x-2\sqrt{x}+1)/(x-\sqrt{x}+1)` `1-A=((\sqrt{x}-1)^2)/(x-\sqrt{x}+1) >=0` với `∀x` `=> A<=1` (Dấu = xảy ra khi `\sqrt{x}=1<=> x=1`) (2) Từ (1)(2)`<=> 0<=A<=1` (đpcm) Bình luận
Điều kiện: $x\ge0$ +) Chứng minh $A\ge0$ Vì $x\ge0 \to \sqrt{x}\ge0$ Mà $x-\sqrt{x}+1=x-\sqrt{x}+\dfrac14+\dfrac34=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0$ $\to A=\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\ge0 \ \ (1)$ +) Chứng minh $A\le1$ $A=\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}$ $↔A(x-\sqrt{x}+1)=\sqrt{x}$ $↔Ax-A\sqrt{x}+A=\sqrt{x}$ $↔Ax-A\sqrt{x}-\sqrt{x}+A=0$ $↔Ax-(A+1)\sqrt{x}+A=0$ $Δ=[-(A+1)]^2-4·A·A=A^2+2A+1-4A^2=-3A^2+2A+1$ Phương trình có nghiệm $↔Δ≥0$ $↔-3A^2+2A+1≥0$ $↔-3A^2+3A-A+1≥0$ $↔-3A(A-1)-(A-1)≥0$ $↔(A-1)(-3A-1)≥0$ $\left[\begin{array}{l}\begin{cases}A-1\ge0\\-3A-1\ge0\end{cases}\\\begin{cases}A-1\le0\\-3A-1\le0\end{cases}\end{array}\right.$ $\leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}A\ge1\\A\le -\dfrac{1}{3} \ (\text{loại})\end{cases}\\\begin{cases}A\le1\\A\ge -\dfrac{1}{3} \ (\text{chọn})\end{cases}\end{array}\right.$ $\to A=\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\le1 \ \ (2)$ Từ $(1)$ và $(2)\to 0≤A≤1$ Bình luận
`A=(\sqrt{x})/(x-\sqrt{x}+1)` ĐKXĐ: `x>=0`
Ta thấy `x-\sqrt{x}+1=(\sqrt{x}-1/2)^2+3/4>0` với `∀x>=0`
mà `\sqrt{x}>=0` với `∀x>=0`
`=> A>=0` (Dấu = xảy ra khi `x=0`) (1)
Xét hiệu:
`1-A=1-(\sqrt{x})/(x-\sqrt{x}+1)`
`1-A=(x-\sqrt{x}+1-\sqrt{x})/(x-\sqrt{x}+1)`
`1-A=(x-2\sqrt{x}+1)/(x-\sqrt{x}+1)`
`1-A=((\sqrt{x}-1)^2)/(x-\sqrt{x}+1) >=0` với `∀x`
`=> A<=1` (Dấu = xảy ra khi `\sqrt{x}=1<=> x=1`) (2)
Từ (1)(2)`<=> 0<=A<=1` (đpcm)
Điều kiện: $x\ge0$
+) Chứng minh $A\ge0$
Vì $x\ge0 \to \sqrt{x}\ge0$
Mà $x-\sqrt{x}+1=x-\sqrt{x}+\dfrac14+\dfrac34=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0$
$\to A=\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\ge0 \ \ (1)$
+) Chứng minh $A\le1$
$A=\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}$
$↔A(x-\sqrt{x}+1)=\sqrt{x}$
$↔Ax-A\sqrt{x}+A=\sqrt{x}$
$↔Ax-A\sqrt{x}-\sqrt{x}+A=0$
$↔Ax-(A+1)\sqrt{x}+A=0$
$Δ=[-(A+1)]^2-4·A·A=A^2+2A+1-4A^2=-3A^2+2A+1$
Phương trình có nghiệm
$↔Δ≥0$
$↔-3A^2+2A+1≥0$
$↔-3A^2+3A-A+1≥0$
$↔-3A(A-1)-(A-1)≥0$
$↔(A-1)(-3A-1)≥0$
$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}A-1\ge0\\-3A-1\ge0\end{cases}\\\begin{cases}A-1\le0\\-3A-1\le0\end{cases}\end{array}\right.$ $\leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}A\ge1\\A\le -\dfrac{1}{3} \ (\text{loại})\end{cases}\\\begin{cases}A\le1\\A\ge -\dfrac{1}{3} \ (\text{chọn})\end{cases}\end{array}\right.$
$\to A=\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\le1 \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)\to 0≤A≤1$